Упругое рассеяние ядра на покоящемся ядре

Запишите закон сохранения энергии и закон сохранения импульса. Из векторного треугольника импульсов по теореме косинусов выразите \(p_2\) через \(p_0\) и \(p_1\) и подставьте в закон сохранения энергии: получится квадратное уравнение для отношения \(p_1/p_0\).

Запишем закон сохранения энергии для упругого столкновения: \[\frac{p_0^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} \quad\longrightarrow\quad p_0^2 = p_1^2 + n p_2^2,\] где \(p_1\) и \(p_2\) — модули конечных импульсов ядер N 1 и N 2. Исключим \(p_2\), воспользовавшись законом сохранения импульса \(\vec p_0 = \vec p_1 + \vec p_2\). Представим это равенство в виде треугольника с углом \(\vartheta\) между векторами \(\vec p_0\) и \(\vec p_1\).

По теореме косинусов \[p_2^2 = p_0^2 + p_1^2 - 2 p_0 p_1 \cos\vartheta.\] Подставляя это выражение в уравнение баланса энергии, получаем квадратное уравнение для безразмерного отношения \(p_1/p_0\): \[(n+1)\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^2 - 2n\,\frac{p_1}{p_0}\cos\vartheta + (n-1) = 0.\] Дискриминант уравнения равен \[D = 4n^2\cos^2\vartheta - 4(n+1)(n-1) = 4\left(1 - n^2\sin^2\vartheta\right).\] Больший и меньший корни: \[\frac{p_1}{p_0} = \frac{n\cos\vartheta + \sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta}}{n+1}, \qquad \frac{p_1'}{p_0} = \frac{n\cos\vartheta - \sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta}}{n+1}.\] Разность корней: \[x = \frac{p_1 - p_1'}{p_0} = \frac{2}{n+1}\sqrt{1 - n^2\sin^2\vartheta} = 0{,}64.\]