Стержень на рельсах в магнитном поле

Найдите ЭДС индукции через приращение магнитного потока за малый промежуток времени, затем силу Ампера и запишите второй закон Ньютона. Сумма приращений скорости даст связь \(V\) и \(x\).

Направим единичный вектор нормали \(\vec n\) к плоскости замкнутого контура \(abcd\) вдоль вектора магнитной индукции \(\vec B\). Положительное направление обхода контура связано с направлением \(\vec n\) правилом правого винта и соответствует движению по часовой стрелке. Пусть в некоторый момент времени скорость стержня равна \(V\). За малый промежуток времени \(\Delta t\) стержень пройдёт расстояние \(\Delta x = V\Delta t\). Приращение площади, ограниченной контуром, равно \(\Delta S = L\Delta x = LV\Delta t\).

Приращение магнитного потока за время \(\Delta t\): \(\Delta\Phi = \vec B\vec n\,\Delta S = BLV\Delta t\). ЭДС индукции, возникающая в контуре, равна \[\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -BLV.\] Знак минус означает, что ЭДС действует против положительного направления обхода контура, то есть против часовой стрелки. Поэтому ток в стержне направлен от точки \(b\) к точке \(a\). Сила тока равна \(I = \dfrac{|\varepsilon|}{R} = \dfrac{BLV}{R}\).

Со стороны магнитного поля на стержень с током действует сила Ампера, направленная противоположно скорости. Её абсолютная величина равна \[F_A = BIL = \frac{(BL)^2 V}{R}.\] Обозначим через \(\Delta V\) приращение скорости стержня за время \(\Delta t\). Эта величина отрицательна, поскольку сила Ампера тормозит стержень. Второй закон Ньютона в проекции на направление скорости: \[m\frac{\Delta V}{\Delta t} = -F_A = -\frac{(BL)^2 V}{R}.\] Отсюда связь между приращением скорости и расстоянием \(\Delta x\), пройденным стержнем за время \(\Delta t\): \[\Delta V = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot V\Delta t = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot\Delta x.\] Суммируя такие выражения по всем малым промежуткам времени, получаем: \[V - V_0 = -\frac{(BL)^2}{mR}\cdot x, \qquad x = \frac{mR(V_0 - V)}{(BL)^2} = 18~\text{см}.\]