Работа при удалении диэлектрика из цепи с двумя батареями

Начальные заряды найдите из условия, что левые обкладки соединены проводом (суммарный заряд нуля), и из уравнений для контуров. Работа внешних сил при медленном выдвигании равна изменению энергии конденсаторов за вычетом работ батарей.

Найдём начальные заряды конденсаторов \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\). Левые обкладки, соединённые проводом, представляют собой изолированный проводник, заряд которого равен нулю. Поэтому \(-q_1 - q_2 + q_3 = 0\). Приравнивая нулю алгебраическую сумму напряжений и ЭДС в верхнем и нижнем замкнутых контурах, получаем ещё два уравнения: \(q_1 = q_2\), \(q_2 + q_3 = CV\). Решение этих уравнений даёт: \[q_1 = q_2 = \frac{CV}{3}, \qquad q_3 = \frac{2CV}{3}.\]

Найдём теперь конечные заряды конденсаторов \(Q_1\), \(Q_2\) и \(Q_3\). В этом случае ёмкость нижнего конденсатора без диэлектрической пластины равна \(C/\varepsilon\). Имеем уравнения: \(-Q_1 - Q_2 + Q_3 = 0\), \(Q_1 = Q_2\), \(Q_2 + \varepsilon Q_3 = CV\). Решая их, получаем: \[Q_1 = Q_2 = \frac{CV}{2\varepsilon+1}, \qquad Q_3 = \frac{2CV}{2\varepsilon+1}.\]

Будем считать, что пластина выдвигается из нижнего конденсатора очень медленно. В этом случае искомая работа \(A\) внешних сил, действующих на пластину, будет минимальной, поскольку можно пренебречь кинетической энергией пластины и выделением тепла в цепи. Уравнение баланса энергии: \[\Delta W = A + A_1 + A_2,\] где \(\Delta W\) — приращение энергии конденсаторов, \(A_1\) и \(A_2\) — работы верхней и нижней батарей. Энергии конденсаторов в начальном и конечном состояниях: \[W_1 = \frac{q_1^2}{2C} + \frac{q_2^2}{2C} + \frac{q_3^2}{2C} = \frac{CV^2}{3},\] \[W_2 = \frac{Q_1^2}{2C} + \frac{Q_2^2}{2C} + \frac{Q_3^2}{2C/\varepsilon} = \frac{CV^2}{2\varepsilon+1}.\] Отсюда \[\Delta W = W_2 - W_1 = CV^2\left(\frac{1}{2\varepsilon+1} - \frac{1}{3}\right) = -\frac{2CV^2(\varepsilon-1)}{3(2\varepsilon+1)}.\] Работа верхней батареи равна \[A_1 = (Q_1 - q_1)V = CV^2\left(\frac{1}{2\varepsilon+1} - \frac{1}{3}\right) = \Delta W.\] В силу равенств \(q_2 = q_1\) и \(Q_2 = Q_1\) работа нижней батареи \(A_2\) совпадает с \(A_1\): \(A_2 = (Q_2 - q_2)V = A_1 = \Delta W\).

Для работы внешних сил получаем \[A = \Delta W - A_1 - A_2 = -\Delta W = \frac{2CV^2(\varepsilon-1)}{3(2\varepsilon+1)} = 48~\text{мкДж}.\]