Цикл с адиабатой на смеси газов

Для смеси найдите молярные теплоёмкости \(C_V\) и \(C_P\) через \(\alpha\) и вычислите показатель адиабаты \(\gamma = C_P/C_V\). Затем посчитайте тепло, полученное на изохоре, и тепло, отданное на изобаре, и КПД как \(\eta = 1 + Q_{31}/Q_{12}\).

Обозначим через \(\nu\) полное число молей газовой смеси \(\nu = \nu_1 + \nu_2\) и рассмотрим молярные теплоёмкости смеси \(C_V\) и \(C_P\) при постоянном объёме и давлении: \[C_V = \frac{1}{\nu}\left(\frac{3}{2}R\nu_1 + \frac{5}{2}R\nu_2\right) = \frac{3\alpha+5}{2(\alpha+1)}\,R, \qquad C_P = C_V + R = \frac{5\alpha+7}{2(\alpha+1)}\,R.\] Здесь \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\alpha = \nu_1/\nu_2\). Показатель адиабаты смеси равен \[\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5\alpha+7}{3\alpha+5}.\]

В рассматриваемом цикле газовая смесь получает тепло на участке 1–2: \[Q_{12} = \nu C_V(T_2 - T_1) = \frac{C_V}{R}\left(\nu RT_2 - \nu RT_1\right) = \frac{C_V}{R}\,P_1V_1(k-1),\] где \(k = P_2/P_1\). На участке 3–1 газовая смесь отдаёт тепло: \[Q_{31} = \nu C_P(T_1 - T_3) = \frac{C_P}{R}\,P_1(V_1 - V_3).\] Выразим \(V_3\) через \(V_1\), воспользовавшись уравнением адиабаты \(P_2V_1^\gamma = P_1V_3^\gamma\): \[V_3 = V_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{1/\gamma} = V_1 k^{1/\gamma}.\] Получаем \[Q_{31} = -\frac{C_P}{R}\,P_1V_1\left(k^{1/\gamma} - 1\right).\] Работа, совершённая двигателем за цикл, равна \(A = Q_{12} + Q_{31}\). КПД двигателя: \[\eta = \frac{A}{Q_{12}} = 1 + \frac{Q_{31}}{Q_{12}} = 1 - \frac{C_P\left(k^{1/\gamma} - 1\right)}{C_V(k-1)} = 1 - \frac{\gamma\left(k^{1/\gamma} - 1\right)}{k-1}.\] Подстановка числовых значений даёт \(\gamma = 10/7\) и \(\eta = 17\%\).