Плоский каркас из десяти резисторов

Используйте зеркальную симметрию каркаса относительно прямой, проходящей через точки 3 и 6: ток на участке 3–6 равен нулю, и его можно убрать из схемы. Дальше найдите общее сопротивление упрощённой схемы.

Пусть положительный полюс батареи подключён к точке 1, а отрицательный — к точке 5. Рассматриваемая схема зеркально симметрична относительно прямой \(L\), проходящей через точки 3 и 6. Поэтому распределение токов также зеркально симметрично: \[I_{23} = I_{34}, \qquad I_{26} = I_{46}, \qquad I_{16} = I_{56}.\] Здесь нижние индексы указывают участки, по которым текут соответствующие токи. В силу этих равенств ток на участке 3–6 равен нулю, и этот участок можно убрать из схемы. Кроме того, можно разъединить точку 6. В результате получаем упрощённую схему.

Обозначим через \(R\) каждое из исходных сопротивлений. В получившейся схеме верхний треугольник 234 состоит из двух сопротивлений \(2R\), соединённых параллельно. Общее сопротивление этого треугольника равно \[\frac{2R\cdot 2R}{2R + 2R} = R.\] Нижний треугольник 156 состоит из сопротивлений \(R\) и \(2R\), также соединённых параллельно. Его общее сопротивление равно \[\frac{R\cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}.\] Получаем совсем простую схему, с помощью которой находим общее сопротивление исходного каркаса: \[R_0 = \frac{3R\cdot(2R/3)}{3R + (2R/3)} = \frac{6R}{11}.\]

Тепловая мощность, выделяющаяся на всём каркасе, равна \[P_0 = \frac{V^2}{R_0} = \frac{11V^2}{6R},\] где \(V\) — напряжение, поданное на точки 1 и 5. Сила тока, текущего по участку 5–6, равна \(I_{56} = \dfrac{V}{2R}\). Тепловая мощность, выделяющаяся на этом участке: \[P_{56} = I_{56}^2 R = \frac{V^2}{4R}.\] Отношение мощностей: \[x = \frac{P_{56}}{P_0} = \frac{6}{4\cdot 11} = \frac{3}{22} = 0{,}136.\]