Два шарика с пружиной на наклонном стержне

Рассмотрите движение шарика 2 относительно шарика 1: оно будет гармоническим с приведённой массой \(\mu\). Минимальное расстояние между шариками достигается в половине периода колебаний.

Рассмотрим движение шариков в неподвижной системе отсчёта, связанной со стержнем. На шарики действуют силы тяжести, силы \(\vec N_1\) и \(\vec N_2\) нормальной реакции со стороны стержня и силы упругости \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\) со стороны пружины. На рисунке силы упругости показаны для случая, когда пружина растянута. Направим ось \(x\) вдоль стержня вниз и запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось: \[m_1 a_{1x} = m_1 g\sin\alpha + F_{1x}, \qquad m_2 a_{2x} = m_2 g\sin\alpha + F_{2x},\] где \(a_{1x}\) и \(a_{2x}\) — проекции ускорений шариков на ось \(x\), \(F_{1x}\) и \(F_{2x}\) — проекции сил упругости. Обозначим через \(x\) удлинение пружины и через \(k\) её жёсткость. Тогда \(F_{1x} = kx\), \(F_{2x} = -kx\).

Если пружина растянута, то \(x > 0\), и знаки проекций сил упругости соответствуют их направлениям, показанным на рисунке. Величина \(x\) определяет длину пружины и расстояние между центрами шариков. Поэтому рассмотрим движение шарика 2 относительно шарика 1. Ускорение \(\vec a\) этого движения равно разности ускорений шариков относительно стержня: \(\vec a = \vec a_2 - \vec a_1\), в проекции на ось \(x\): \(a_x = a_{2x} - a_{1x}\).

Выражая \(a_{1x}\) и \(a_{2x}\) из второго закона Ньютона, получаем: \[a_{1x} = g\sin\alpha + \frac{F_{1x}}{m_1}, \qquad a_{2x} = g\sin\alpha + \frac{F_{2x}}{m_2},\] \[a_x = \frac{F_{2x}}{m_2} - \frac{F_{1x}}{m_1} = -kx\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right).\] Введём величину \(\mu\), которая называется приведённой массой: \[\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.\] Тогда уравнение относительного движения шариков принимает вид \[a_x = -\frac{k}{\mu}\,x.\] Получилось уравнение гармонических колебаний груза массы \(\mu\) на пружине жёсткости \(k\). Круговая частота колебаний равна \(\omega = \sqrt{k/\mu}\).

Поскольку начальная относительная скорость шариков равна нулю, зависимость удлинения пружины от времени определяется выражением \(x = x_0\cos\omega t\). Искомое время \(\tau\) соответствует минимальному значению \(x\): \[\cos\omega\tau = -1, \qquad \omega\tau = \pi, \qquad \tau = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}.\] Выразим жёсткость пружины через \(x_0\) из условия равновесия шарика 2 в начальный момент: \[k x_0 = m_2 g\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{m_2 g\sin\alpha}{x_0}.\] Собирая всё вместе и вводя отношение масс \(n = m_2/m_1\), получаем: \[\tau = \pi\sqrt{\frac{x_0}{(n+1)\,g\sin\alpha}} = 0{,}46~\text{с}.\]