Кольцо с перемычками

Каждая перемычка от центра до окружности имеет сопротивление \(\lambda R\). Используйте симметрию цепи: какой проводник не несёт тока?

Поскольку сопротивление каждой перемычки от центра до окружности равно \(\lambda R\), данную в условии электрическую цепь можно представить в виде, показанном на рисунке. Проводник, идущий от центра окружности (т. В) к самой окружности в направлении, противоположном точке А (в точку С), представляем как два параллельных проводника с удвоенным сопротивлением (по сравнению с тем проводником, который был на этом месте). Сопротивление проводника из двух параллельно соединённых одинаковых проводников вдвое меньше сопротивления каждого из них. При этом благодаря симметрии цепи по проводнику, соединяющему два проводника с сопротивлением \(2\lambda R\) в точке С, электрический ток течь не будет. Поэтому его можно удалить из цепи без изменения её сопротивления.

Полученная цепь сводится к последовательному и параллельному соединению резисторов, её сопротивление ищется по правилам сложения сопротивлений:

В результате получим для сопротивления цепи \[R_{\text{об}} = \frac{\left(2 + 4\pi + \pi^2\right)\lambda R}{8 + 6\pi + \pi^2}.\]