Диск на двух нитях

За малое время \(\Delta t\) длина каждой нити изменится на \(\omega R\,\Delta t\). Найдите смещение центра диска, для которого известны проекции на обе нити.

Пусть в некоторый момент времени диск занимал положение, показанное на рисунке. Найдём перемещение центра диска за малый интервал времени \(\Delta t\). Поскольку диск вращается с угловой скоростью \(\omega\), а нити натянуты, то длина каждой нити стала больше на величину \(\omega R\,\Delta t\). Поэтому переместятся точки контакта нитей с диском и соответственно центр диска.

Так как рассматривается малый интервал времени \(\Delta t\), углы между старыми и новыми положениями нитей очень малы, и в получающихся треугольниках углы при основании практически равны. Следовательно, \(BC = FE = \omega R\,\Delta t\). Поэтому проекции вектора перемещения центра диска \(OO'\) на левую и на правую нить равны \(\omega R\,\Delta t\). Прямоугольные треугольники \(OGO'\) и \(OHO'\) равны друг другу, поэтому углы между вектором перемещения диска и нитями равны: \[\angle GO'O = \angle HO'O = \frac{\alpha}{2},\] т.е. центр диска движется параллельно биссектрисе угла между нитями, а длину вектора перемещения диска за рассматриваемый интервал времени находим из прямоугольного треугольника \(OGO'\): \[OO' = \frac{GO'}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\omega R\,\Delta t}{\cos(\alpha/2)}.\]

Поэтому скорость центра диска в рассматриваемый момент \[v = \frac{OO'}{\Delta t} = \frac{\omega R}{\cos(\alpha/2)}.\]