Бруски в высоком сосуде

Сила Архимеда уравновешивает вес бруска. Учтите, что по отношению к первоначальному уровню воды брусок опускается глубже, чем на величину \(x\) от нового уровня.

Поскольку плотность дерева меньше плотности воды, брусок плавает в воде. При этом глубина его погружения \(x\) относительно уровня воды определяется условием плавания — сила тяжести бруска равна силе Архимеда, действующей на брусок: \[mg = F_A \quad\Rightarrow\quad \rho g h S = \rho_0 g x S \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\rho}{\rho_0}\,h,\] где \(m\) — масса бруска, \(h\) — его высота, \(S\) — площадь поперечного сечения. Величина \(x\) отсчитывается от нового положения уровня воды в сосуде. Подъём уровня определяется соотношением площадей бруска и сосуда, которые не заданы. Однако подъём уровня воды задан, поэтому можно найти, насколько опустится нижняя грань бруска по отношению к первоначальному уровню воды, без знания площадей: \[\delta_1 = \frac{\rho}{\rho_0}\,h - \Delta h.\] (Брусок должен опуститься по отношению к первоначальному уровню, ведь он должен вытеснить воду, чтобы уровень воды поднялся, поэтому \(\dfrac{\rho}{\rho_0}h > \Delta h\).)

Когда ставят друг на друга \(n\) одинаковых брусков с одинаковым сечением, это эквивалентно опусканию в сосуд бруска высотой \(nh\) с тем же сечением. При фиксированных площадях сечения подъём уровня воды пропорционален высоте бруска, поэтому уровень воды поднимется на величину \(n\,\Delta h\). Нижняя грань стопки из \(n\) брусков опустится по отношению к первоначальному уровню на величину \[\delta_n = n\left(\frac{\rho}{\rho_0}\,h - \Delta h\right).\] Стопка брусков коснётся дна сосуда, если \(\delta_n > H\), т.е. \[n > \frac{H}{\dfrac{\rho}{\rho_0}h - \Delta h} = \frac{H\rho_0}{\rho h - \Delta h\,\rho_0}.\] Поэтому высота уровня воды в сосуде будет равна \[H_1 = H + n\,\Delta h = H\left(1 + \frac{\Delta h\,\rho_0}{\rho h - \rho_0\,\Delta h}\right).\]