Равновесия

Суммарный заряд шариков нулевой, так что поле действует на систему из двух шариков без результирующей силы. Запишите равновесие одного шарика с силами натяжения, тяжести, поля и кулоновского притяжения.

Вначале сила натяжения верхней нити уравновешивала силу тяжести, действующую на «тело» из двух шариков, соединённых нижней нитью. Следовательно, \(T_0 = 2mg\), откуда \(m = \dfrac{T_0}{2g} \approx 61{,}16\) г, а радиус шариков \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3m}{4\pi\rho}} \approx 11{,}8\) мм. Это почти в 25 раз меньше длины нити, поэтому для кулоновского притяжения используем закон Кулона для точечных зарядов.

Суммарный заряд, нанесённый на шарики, равен нулю, поэтому и суммарная сила поля, действующая на «тело» из двух шариков, равна нулю. Значит, сила натяжения верхней нити не меняется ни по величине, ни по направлению, и верхняя нить во всех случаях остаётся вертикальной: \(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\).

После заряжения шариков на каждый действуют силы \(\pm qE\) со стороны поля и кулоновская сила притяжения \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\), где \(R = L + 2r \approx 314{,}6\) мм. Силы натяжения нижней нити сонаправлены с кулоновскими, поэтому их можно объединить в силу \(\vec F = \vec F_C + \vec T\). Обозначив угол отклонения нижней нити \(\alpha\), из условия равновесия шарика \[F\sin\alpha = qE, \qquad F\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; \tan\alpha = \frac{qE}{mg} = \frac{7}{24}, \qquad F = \frac{25}{24}\,mg = 0{,}625~\text{Н},\] то есть \(\alpha \approx 16{,}3^\circ\). Это решение верно, если нижняя нить натянута: \(T = F - F_C = \dfrac{25}{48}T_0 - \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2} \approx +0{,}057\) Н \(> 0\) — условие выполнено.

При уменьшении поля в три раза \(\tan\tilde\alpha = \dfrac{7}{72}\), \(\tilde\alpha \approx 5{,}6^\circ\), \(\tilde F = \dfrac{\sqrt{5233}}{72}\,mg \approx 0{,}603\) Н; нить снова натянута, и угол уменьшается почти в три раза.

Важно учитывать радиус шариков. Если вычислить кулоновскую силу без этой поправки, то \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0L^2} \approx 0{,}664\) Н, и нижняя нить оказалась бы ненатянутой уже при первом значении напряжённости. Тогда шарики «прилипли» бы друг к другу, разрядились, и все ответы были бы некорректными.