График полёта

В момент, когда скорость перпендикулярна перемещению, модуль перемещения экстремален. Какое уравнение на \(z = gt/v_0\) при этом получается и когда у него один корень?

Закон движения шарика удобно записать в системе координат с горизонтальной осью \(x\) и вертикальной осью \(y\), совместив начало с точкой броска: \[\begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\, t \\ y(t) = v_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}\end{cases} \;\Rightarrow\; r(t) = v_0\,t\sqrt{1 - \frac{g\sin\alpha}{v_0}\,t + \frac{g^2t^2}{4v_0^2}}.\] Скорость изменения величины перемещения \(\dfrac{\Delta r}{\Delta t}\) связана с тангенсом угла наклона касательной к графику. На графике нет участков, где она отрицательна, а единственный участок, где она близка к нулю, — при \(t = 1{,}40\ldots1{,}43\) усл. ед.; примем \(t_0 = 1{,}415 \pm 0{,}015\) усл. ед.

В безразмерной переменной \(z \equiv gt/v_0\) условие \(\dfrac{dr}{dt} = 0\) даёт уравнение \(z^2 - 3\sin\alpha\,z + 2 = 0\) с дискриминантом \(D = 9\sin^2\alpha - 8\), который зависит только от угла. График согласуется с ситуацией, когда у уравнения один корень, то есть \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}\), \(\alpha = \arcsin\dfrac{2\sqrt2}{3} \approx 70{,}5^\circ\). Тогда в момент \(t_0\) корень равен \(z_0 = \sqrt2\), и \(\dfrac{v_0}{g} = \dfrac{t_0}{\sqrt2}\).

Перемещение в этот момент \(r_0 = \dfrac{v_0^2}{\sqrt3\,g}\), по графику \(r_0 \approx 1{,}155 \pm 0{,}005\) усл. ед.; отсюда и из \(v_0\) и \(t_0\) для времени в секундах: \[v_0 = \frac{g\,t_0}{\sqrt2} \approx (9{,}8 \pm 0{,}1)~\text{м/с}, \qquad r_0 = \frac{g\,t_0^2}{2\sqrt3} \approx 5{,}66 \pm 0{,}12~\text{м}.\] При полном анализе графика получаются уточнённые значения \(\alpha \approx (70{,}5 \pm 0{,}3)^\circ\), \(v_0 \approx (9{,}81 \pm 0{,}05)\) м/с и \(r_0 \approx 5{,}66 \pm 0{,}06\) м, которые и являются ответами организаторов.