Милетская задача

Отметим на рисунке точки \(A_2\) и \(A_3\), в которых машинка была в моменты времени \(t_2\) и \(t_3\) соответственно. Из условия следует, что \(A_2\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой, и \(A_3\), \(C\), \(D\) лежат на одной прямой. Пусть \(t_1 = 1\) с и \(l = a t_1^2 / 2\). Тогда имеем \[|AA_2| = \frac{a t_2^2}{2} = 4l, \qquad |A_2A_3| = \frac{a (t_3^2 - t_2^2)}{2} = 5l.\] Выберем на \(A_2A_3\) точку \(E\) так, чтобы \(CE \parallel BA_2\). По условию \(|AB| = |BC|\), следовательно, по теореме Фалеса \[|AA_2| = |A_2E| = 4l \quad\Rightarrow\quad |EA_3| = l.\] Обозначим \(|A_3C| = x\) и воспользуемся теоремой Фалеса ещё раз: \[|EA_3| : |A_2E| = 1 : 4 \quad\Rightarrow\quad |CD| = 4\,|A_3C| = 4x.\]

Заметим, что \(AC\) — высота в прямоугольном треугольнике \(AA_3D\), следовательно, \[|AC| = \sqrt{|A_3C| \cdot |CD|} = 2x \quad\Rightarrow\quad \tan\angle ADC = \frac{1}{2}.\] Отсюда сразу \[|AA_3| = |AD| \tan\angle ADC = 9~\text{м} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{2\,|AA_3|}{t_3^2} = 2~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.\]