Раз, два, Ш!

Обозначим начальные уровни жидкости в коленах \(h_1\), \(h_2\) и \(h_3\). Давления на дно во всех коленах одинаковы, следовательно (ускорение свободного падения \(g\) сокращено): \[\rho_3 h_3 + \frac{m_3}{S_3} = \rho_1 h_1 + \frac{m_1}{S_1}, \qquad \rho_3 h_3 + \frac{m_3}{S_3} = \rho_2 h_2 + \frac{m_2}{S_2}.\] Пусть после перестановки грузов уровни жидкости в коленах изменились на \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) соответственно (величины считаются положительными, если уровень сместился вверх, и отрицательными, если вниз). Тогда \[\rho_3 (h_3 + x_3) + \frac{m_3}{S_3} = \rho_1 (h_1 + x_1) + \frac{m_2}{S_1}, \qquad \rho_3 (h_3 + x_3) + \frac{m_3}{S_3} = \rho_2 (h_2 + x_2) + \frac{m_1}{S_2}.\] Если вычесть из этой пары уравнений предыдущую пару, получим \[\rho_3 x_3 = \rho_1 x_1 + \frac{\Delta m}{S_1}, \qquad (1)\] \[\rho_3 x_3 = \rho_2 x_2 - \frac{\Delta m}{S_2}, \qquad (2)\] где \(\Delta m = m_2 - m_1\). Это два уравнения на три неизвестных. В качестве третьего уравнения запишем условие сохранения суммарного объёма жидкостей: \[x_1 S_1 + x_2 S_2 + x_3 S_3 = 0. \qquad (3)\] Чтобы решить систему (1)–(3), домножим уравнение (1) на \(S_1/\rho_1\), уравнение (2) на \(S_2/\rho_2\) и сложим их. С учётом (3) получится \[\left(\frac{\rho_3}{\rho_1} S_1 + \frac{\rho_3}{\rho_2} S_2 + S_3\right) x_3 = \frac{\Delta m\,(\rho_2 - \rho_1)}{\rho_1 \rho_2}.\] Подставим значения величин из условия и выразим \(x_3\): \[x_3 = \frac{m}{18\rho S}.\] Подставив \(x_3\) в (1)–(2), получим \[x_1 = -\frac{5m}{6\rho S}, \qquad x_2 = \frac{m}{3\rho S}.\]