Road to...

Пусть \(n\) — общая концентрация автомобилей, то есть их среднее количество на единицу длины дороги. Перейдём в систему отсчёта физиков. За промежуток времени \(\Delta t\) они встретят \(n\,|u|\,p(u)\,\Delta t\) автомобилей, движущихся с относительной скоростью \(u\), если их доля в общем числе автомобилей из потока — \(p(u)\). Это выражение верно для любой категории автомобилей: и для движущихся быстрее, и для едущих медленнее физиков.

Соответственно, равенство числа обгоняющих и обгоняемых автомобилей можно записать в виде: \[\sum_{u>0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t = \sum_{u<0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t, \qquad (4)\] или, что то же самое, \[\sum n\,u\,p(u)\,\Delta t = 0 \quad\Rightarrow\quad \sum_i u_i p_i = 0. \qquad (5)\] Поскольку \(u = v_i - v\) (\(v\) — скорость физиков, \(v_i\) — скорость \(i\)-го вида автомобилистов), правая часть (5) примет вид: \[\sum_i v_i p_i - v \sum_i p_i = \sum_i v_i p_i - v = 0.\] Отсюда \(v = 0{,}3 \cdot 100~\text{км/ч} + 0{,}5 \cdot 90~\text{км/ч} + 0{,}2 \cdot 60~\text{км/ч} = 87~\text{км/ч}\).

Для ответа на второй вопрос вместо условия (4) запишем \[\sum_{u>0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t = 2 \sum_{u<0} n\,|u|\,p(u)\,\Delta t.\] Раз обгоняющих стало вдвое больше, чем обгоняемых, скорость физиков уменьшилась. А значит, все родители и путешественники точно обгоняют Глюка и Бага. Тогда, выражая скорость физиков, получаем \[v = \frac{v_1 p_1 + v_2 p_2 + 2 v_3 p_3}{p_1 + p_2 + 2 p_3} = 82{,}5~\text{км/ч}.\]