Эксперименты с тонкими проводами

Описанный в условии задачи результат эксперимента возможен, поскольку соединительные провода имеют сопротивление.

Предположим, что к идеальному источнику напряжения \(U_0\) подключён резистор \(R\) при помощи проводов общим сопротивлением \(r\). Согласно закону Ома, сила тока \(I = \dfrac{U_0}{R + r}\), откуда мощность, выделяемая на резисторе, \[P = I^2 R = \frac{U_0^2 R}{(R + r)^2}.\] Метод 1. Используем равенство мощностей при сопротивлениях \(R_1\) и \(R_2\) резисторов: \[\frac{U_0^2 R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{U_0^2 R_2}{(R_2 + r)^2} \;\Leftrightarrow\; R_1 (r^2 + 2R_2 r + R_2^2) = R_2 (r^2 + 2R_1 r + R_1^2) \;\Leftrightarrow\; (R_2 - R_1) r^2 = R_1 R_2 (R_2 - R_1) \;\Leftrightarrow\; r = \sqrt{R_1 R_2}.\] Здесь использовано, что \(R_1 \neq R_2\). Получаем, что сопротивление двух последовательно соединённых проводов равно \(\sqrt{R_1 R_2}\). Таким образом, сопротивление провода \(\sqrt{R_1 R_2}/2\).

Метод 2. Посмотрим на равенство как на уравнение относительно сопротивления резистора \(R\): \[R^2 + R\left(2r - \frac{U_0^2}{P}\right) + r^2 = 0.\] По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно \(r^2\). Применив результат к первым двум экспериментам, получаем, что сопротивление двух последовательно соединённых проводов равно \(\sqrt{R_1 R_2}\). Таким образом, сопротивление провода \(\sqrt{R_1 R_2}/2\).

В третьем эксперименте Миша подключил к источнику резисторы \(R_1\), \(R_2\), используя три провода общим сопротивлением \(3\sqrt{R_1 R_2}/2\). Сила тока, текущего в цепи, \[I' = \frac{U_0}{R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2}.\] Поэтому на резисторах выделяются мощности \[P_1 = I'^2 R_1 = \frac{U_0^2 R_1}{\left(R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2\right)^2} = 30~\text{мВт}, \quad P_2 = I'^2 R_2 = \frac{U_0^2 R_2}{\left(R_1 + R_2 + 3\sqrt{R_1 R_2}/2\right)^2} = 120~\text{мВт}.\]