Конус на плоскости

Вершина неподвижна, значит, мгновенная ось вращения проходит через вершину и точку касания. Найдите полную угловую скорость как сумму вращения вокруг вертикальной оси и вращения вокруг собственной оси конуса.

Высота конуса \(h = r\,\mathrm{ctg}\,\alpha\). Центр основания \(O\) движется по окружности радиуса \(h\) с линейной скоростью \(v_0\), поэтому угловая скорость вращения конуса вокруг вертикальной оси через вершину \[\omega_1 = \frac{v_0}{h} = \frac{v_0\,\mathrm{tg}\,\alpha}{r}.\] Кроме того, конус вращается вокруг собственной горизонтальной оси. Условие отсутствия проскальзывания в точке касания даёт \[\omega_2 = \frac{v_0}{r}.\] Так как оси вращения перпендикулярны, полная мгновенная угловая скорость \[\omega = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2} = \frac{v_0}{r}\sqrt{\mathrm{tg}^2\alpha + 1} = \frac{v_0}{r\cos\alpha}.\] Расстояние от наиболее удалённой точки основания \(B\) до мгновенной оси: \(O'B = r\sqrt{1 + \cos^2\alpha}\). Тогда \[v_B = \omega\cdot O'B = v_0\sqrt{\frac{1 + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}.\] Верхняя точка конуса \(A\) вдвое дальше от оси вращения, чем точка \(O\), поэтому \(v_A = 2v_0\). Искомое отношение: \[\frac{v_A}{v_B} = \frac{2\cos\alpha}{\sqrt{1 + \cos^2\alpha}}.\] При \(\alpha = 30^\circ\), \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt3}{2}\): \[\frac{v_A}{v_B} = \frac{2\sqrt{21}}{7}.\]