Сферический конденсатор

Система из пункта 1 — два параллельных конденсатора: между шаром и оболочкой и между внешней поверхностью оболочки и бесконечностью. Потенциалы внутренней и внешней поверхностей оболочки равны.

1) Система эквивалентна параллельному соединению двух ёмкостей: \(C_1\) — между внешней оболочкой и внутренним шаром (шар заземлён) и \(C_2\) — ёмкость внешнего сферического слоя радиуса \(b + d\). Ёмкость сферического конденсатора с радиусами \(a\) и \(b\): \[C_1 = 4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a},\] ёмкость уединённого сферического слоя: \[C_2 = 4\pi\varepsilon_0(b + d).\] Потенциалы внешней и внутренней поверхностей оболочки равны, поэтому \[\frac{q_{\text{внутр}}}{C_1} = \frac{q_{\text{внеш}}}{C_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{q_{\text{внеш}}}{q_{\text{внутр}}} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{(b+d)(b-a)}{ab}.\]

2) В системе II ёмкость между шаром и оболочкой равна \(C_1\), ёмкость внешней оболочки относительно земли равна \(C_2\). Системы далеко друг от друга, поэтому их взаимной ёмкостью пренебрегаем. Эквивалентная схема: \(C_1\) системы II соединена последовательно с параллельно соединёнными \(C_2\) (внешняя оболочка системы II) и \(C_1\) (ёмкость между шаром системы I и заземлённой оболочкой). Тогда \[\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2 + C_1},\] откуда \[C = \frac{4\pi\varepsilon_0\,ab}{b-a}\cdot\frac{ab + (b+d)(b-a)}{2ab + (b+d)(b-a)}.\]