Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Глюк на доске

  1. Глюк на доске

    Курчатов 2025/26, 10 кл.
    7/10

    Экспериментатор Глюк сидит на доске. Его ступни закреплены на доске, трения между ним и доской нет, а коэффициент трения скольжения между доской и землёй равен \(\mu\). Глюк исходно сидит в положении с вытянутыми ногами. Вначале Глюк тянет ноги на себя, прикладывая постоянную горизонтальную силу \(F_1\), чтобы приблизить свой центр масс к ступням. Когда Глюк оказывается в положении с согнутыми коленями, его скорость относительно доски мгновенно становится равной нулю за счёт действия внутренних сил, при помощи которых ступни Глюка закреплены на доске. За этот процесс перемещение его центра масс относительно центра масс доски равно \(\ell\). После этого они движутся как единое целое до полной остановки.

    Затем Глюк отталкивается от доски с постоянной горизонтальной силой \(F_2\), чтобы вернуться в положение с вытянутыми ногами. Как только ноги выпрямлены, скорость Глюка относительно доски мгновенно становится равной нулю. После этого система вновь движется как единое целое до полной остановки. Найдите смещение центра масс системы «Глюк+доска» за всё время движения. Масса человека равна \(m\), масса доски равна \(M\). Предполагается, что во время перехода между положениями вертикальная составляющая силы, действующей на ступни Глюка, отсутствует, при этом модули сил связаны неравенством \(F_2 > F_1\). Ускорение свободного падения \(g\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Разберите каждое действие отдельно: доска либо не скользит по земле, либо скользит. Для каждого случая найдите смещение центра масс за действие, затем сложите смещения.

    Ответ

    \(X = \dfrac{(F_1 - F_2)\,m\ell}{\mu g (M+m)^2}\) при \(\mu \ge \dfrac{F_2}{(M+m)g}\);

    \(X = \dfrac{m\ell}{M+m} + \dfrac{F_1 m\ell}{\mu g (M+m)^2} - \dfrac{2\mu M m g\ell}{(M+m)(F_2 - \mu m g)}\) при \(\dfrac{F_2}{(M+m)g} > \mu \ge \dfrac{F_1}{(M+m)g}\);

    \(X = \dfrac{2\mu M m g\ell}{M+m}\left(\dfrac{1}{F_1 - \mu m g} - \dfrac{1}{F_2 - \mu m g}\right)\) при \(\dfrac{F_1}{(M+m)g} > \mu > 0\).

    Решение

    Действие 1. Глюк тянет ноги на себя. Ускорение Глюка относительно земли \(a_ч = \dfrac{F_1}{m}\). Возможны два случая.

    Случай 1: \(\mu \ge \dfrac{F_1}{(M+m)g}\) — доска не скользит. Сила трения покоя действует на доску по направлению движения Глюка и равна \(F_1\). В системе отсчёта доски \(a'_1 = \dfrac{F_1}{m}\), время проскальзывания \(t_1 = \sqrt{\dfrac{2m\ell}{F_1}}\). Для центра масс системы \((M+m)a_{c1} = F_1\), откуда \(a_{c1} = \dfrac{F_1}{M+m}\), а скорость центра масс в конце проскальзывания \(v_{c1} = \sqrt{\dfrac{2F_1 m\ell}{(M+m)^2}}\). Далее система движется как целое с замедлением \(\mu g\), и перемещение центра масс за первое действие \[x_{c1} = \frac{v_{c1}^2}{2a_{c1}} + \frac{v_{c1}^2}{2\mu g} = \frac{m\ell}{M+m} + \frac{F_1 m\ell}{\mu(M+m)^2 g}.\]

    Случай 2: \(\mu < \dfrac{F_1}{(M+m)g}\) — доска скользит. Сила трения скольжения действует на доску по направлению движения Глюка и равна \(\mu(M+m)g\). Ускорение доски \(a_д = \dfrac{F_1 - \mu(M+m)g}{M}\), относительное ускорение Глюка \[a''_1 = a_ч - a_д = \frac{(M+m)(F_1 - \mu m g)}{Mm}.\] Время проскальзывания \(t'_1 = \sqrt{\dfrac{2Mm\ell}{(M+m)(F_1 - \mu m g)}}\). Ускорение центра масс \(a'_{c1} = \mu g\), его скорость в конце проскальзывания \(v'_{c1} = \mu g\,t'_1\). Далее система замедляется с модулем ускорения \(\mu g\), и перемещение центра масс \[x'_{c1} = \frac{v'^2_{c1}}{2a'_{c1}} + \frac{v'^2_{c1}}{2\mu g} = \frac{2\mu M m g\ell}{(M+m)(F_1 - \mu m g)}.\]

    Действие 2. Глюк выпрямляет ноги. Сила \(F_2\) направлена противоположно \(F_1\), поэтому перемещения имеют противоположный знак. Для случая, когда доска не скользит (\(\mu \ge \dfrac{F_2}{(M+m)g}\)), \(x_{c2} = -\dfrac{m\ell}{M+m} - \dfrac{F_2 m\ell}{\mu(M+m)^2 g}\). Для случая, когда доска скользит, \(x'_{c2} = -\dfrac{2\mu M m g\ell}{(M+m)(F_2 - \mu m g)}\).

    Складывая перемещения обоих действий, получаем три выражения для \(X\), приведённые в ответе (в зависимости от \(\mu\) относительно \(\dfrac{F_1}{(M+m)g}\) и \(\dfrac{F_2}{(M+m)g}\)).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх