Поршни двух цилиндров на стержне

Условия равновесия поршней дают связь давлений, жёсткость стержня даёт связь объёмов. Газ в цилиндре \(A\) сжимается адиабатически, поэтому его давление и температура связаны уравнением адиабаты.

До присоединения стержня \(V_{A0} = V_{B0} = \dfrac{\nu_0 R T_0}{p_0}\).

После присоединения стержня поршни не движутся. Обозначим давления в цилиндрах после нагрева \(p_{A1}\) и \(p_{B1}\), силу в стержне \(F\) (положительная — сжатие стержня). Условия равновесия поршней: \[\begin{cases} p_0 S_0 + F = p_{A1} S_0, \\ 4p_0 S_0 + F = 4p_{B1} S_0 . \end{cases}\] Отсюда \(4\Delta p_B = \Delta p_A\), где \(\Delta p_A = p_{A1} - p_0\), \(\Delta p_B = p_{B1} - p_0\). Из жёсткости стержня и равенства перемещений поршней \(\Delta V_B = 4\Delta V_A\), где \(\Delta V_A\) — уменьшение объёма \(A\), \(\Delta V_B\) — увеличение объёма \(B\).

Уравнения состояния: \[p_{A1}(V_{A0} - \Delta V_A) = \nu_0 R T_A, \qquad p_{B1}(V_{B0} + \Delta V_B) = \nu_0 R (T_0 + \Delta T).\] Газ в цилиндре \(A\) претерпевает адиабатический процесс: \(p_{A1}(V_{A0} - \Delta V_A)^\gamma = p_0 V_{A0}^\gamma\), где \(\gamma = \dfrac{5}{3}\). Линеаризуя, \[p_{A1} \approx p_0 + \frac{p_0\gamma\,\Delta V_A}{V_{A0}} .\] Подставляя это в уравнения состояния и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем \[\nu_0 R (T_A - T_0) = p_0\Delta V_A(\gamma - 1), \qquad \nu_0 R\,\Delta T = p_0\Delta V_A\left(\frac{\gamma}{4} + 4\right).\] Отсюда \[\Delta V_A = \frac{4\nu_0 R\,\Delta T}{p_0(16 + \gamma)} = \frac{12\,\nu_0 R\,\Delta T}{53\,p_0},\] \[\Delta T_A = \frac{8}{53}\Delta T, \qquad T_A = T_0 + \frac{8}{53}\Delta T .\] Давление в цилиндре \(A\): \[p_{A1} = p_0\left(1 + \frac{\gamma\,\Delta V_A}{V_{A0}}\right) = p_0\left(1 + \frac{20\,\Delta T}{53\,T_0}\right),\] где учтено \(p_0 V_{A0} = \nu_0 R T_0\).

2) Первый закон термодинамики для всей системы: \(Q = \Delta U_A + \Delta U_B - A_{\text{атм}}\). Работа атмосферы \(A_{\text{атм}} = p_0(\Delta V_A - \Delta V_B) = -3p_0\Delta V_A = -\dfrac{36}{53}\nu_0 R\,\Delta T\). Изменения внутренней энергии: \(\Delta U_A = \dfrac{3}{2}\nu_0 R\,\Delta T_A = \dfrac{12}{53}\nu_0 R\,\Delta T\), \(\Delta U_B = \dfrac{3}{2}\nu_0 R\,\Delta T\). Поэтому \[Q = \frac{12}{53}\nu_0 R\Delta T + \frac{3}{2}\nu_0 R\Delta T + \frac{36}{53}\nu_0 R\Delta T = \frac{255}{106}\,\nu_0 R\,\Delta T .\]