Спрятанный провод

Подсказка

Горизонтальная составляющая поля провода везде перпендикулярна проекции провода, а стрелка компаса стоит вдоль суммы этой составляющей и поля Земли; сильнее всего стрелку отклоняет точка над проводом. Теорема синусов для треугольника векторов даёт линейную связь между током и подходящей функцией угла.

Ответ

a) \(y=ax+b=-0{,}58\,x+75{,}3\) мм при \(\delta a\approx0{,}01\), \(\delta b\approx0{,}4\) мм; положительный ток идёт от западной стороны квадрата к восточной;  b) \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл (по методу фиксированного тока: \(5{,}3\) мм и \(3{,}9\cdot10^{-5}\) Тл).

Решение

Что происходит. Магнитная стрелка компаса стоит вдоль горизонтальной составляющей полного поля: поля Земли \(\vec B_{\mathrm E}\) (оно направлено на север) и поля провода. У провода горизонтальная составляющая \(\vec B_{\mathrm h}\) в любой точке плоскости перпендикулярна проекции провода, а её величина тем больше, чем ближе точка к проекции провода. Поэтому, во-первых, отклонение \(|\varphi|\) при заданном токе максимально прямо над проводом, и по максимумам \(|\varphi|\) можно проследить, где проходит провод. Во-вторых, треугольник векторов \(\vec B_{\mathrm E}\), \(\vec B_{\mathrm h}\), \(\vec B\) связывает измеренный угол с отношением \(B_{\mathrm h}/B_{\mathrm E}\), а оно зависит от \(I\), \(h\) и расстояния до провода — отсюда линеаризация и определение \(h\) и \(B_{\mathrm E}\).

Обозначения. \(\vec B_{\mathrm E}\) — горизонтальная составляющая поля Земли (на север), \(\vec B_{\mathrm h}\) — горизонтальная составляющая поля провода, \(\vec B=\vec B_{\mathrm E}+\vec B_{\mathrm h}\) — полное горизонтальное поле, вдоль него стоит стрелка. \(\theta\) — угол между направлением тока и положительным направлением оси \(x\), \(d\) — расстояние от точки до проекции провода на плоскость \(xy\), \(r=\sqrt{d^2+h^2}\) — расстояние до самого провода. Угол \(\varphi\) отсчитываем от севера, к востоку — положительный.

Теория. Поле прямого тока по закону Ампера (теореме о циркуляции) на расстоянии \(r\) от провода \[B_{\mathrm w}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},\] вектор \(\vec B_{\mathrm w}\) перпендикулярен плоскости, проходящей через провод и точку наблюдения. Его проекция на горизонталь получается умножением на \(\cos\alpha=h/r\), где \(\alpha\) — угол между вертикалью и направлением на провод: \[B_{\mathrm h}=B_{\mathrm w}\cos\alpha=\frac{\mu_0 I h}{2\pi\,(d^2+h^2)}. \tag{1}\] Направление \(\vec B_{\mathrm h}\) в точках по обе стороны от провода одно и то же (проекции \(\vec B_{\mathrm w}\) с обеих сторон направлены одинаково) и перпендикулярно проекции провода. Если ток течёт под углом \(\theta\) к оси \(x\), то \(\vec B_{\mathrm h}\) составляет с севером угол \(\psi=180^\circ-\theta\) (рис. 1).

Рис. 1. Вид сверху: проекция провода, ток \(I\), поле Земли \(\vec B_{\mathrm E}\), горизонтальная составляющая поля провода \(\vec B_{\mathrm h}\) и полное поле \(\vec B\), вдоль которого стоит стрелка. Рисунок иллюстративный.

В треугольнике из векторов \(\vec B_{\mathrm E}\), \(\vec B_{\mathrm h}\), \(\vec B\) напротив стороны \(B_{\mathrm h}\) лежит угол \(\varphi\) (между \(\vec B_{\mathrm E}\) и \(\vec B\)), а напротив стороны \(B_{\mathrm E}\) — угол \(\psi-\varphi\) между \(\vec B_{\mathrm h}\) и \(\vec B\). Теорема синусов: \[\frac{B_{\mathrm h}}{B_{\mathrm E}}=\frac{\sin\varphi}{\sin(\psi-\varphi)}=\frac{\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}. \tag{2}\] Здесь использовано \(\sin(180^\circ-\theta-\varphi)=\sin(\theta+\varphi)\). Формул (1) и (2) достаточно для обоих заданий.

a. Положение провода. При заданном токе \(B_{\mathrm h}\) наибольшее при \(d=0\), то есть прямо над проводом. Поле Земли постоянно, поэтому там же наибольший по модулю угол \(|\varphi|\): проекцию провода находим по точкам, где \(|\varphi|\) максимален. Порядок измерений:

• ставим \(I=+5\) А (наибольшее поле) и грубо, с шагом 10 мм, обходим границу квадрата — находим участки, где \(|\varphi|\) проходит через максимум. Проекция провода пересекает западную сторону (\(x=0\)) при \(y\in[60;90]\) мм и восточную (\(x=100\) мм) при \(y\in[10;30]\) мм;

• на этих участках сканируем с шагом 1 мм. Вблизи максимума \(|\varphi|\) меняется медленно и принимает одно и то же округлённое значение в трёх подряд точках, поэтому ордината точки пересечения известна с точностью около 1 мм: \(P_1=(0{,}0\pm0{,}5;\ 75\pm1)\) мм и \(P_2=(100{,}0\pm0{,}5;\ 17\pm1)\) мм;

• для точности повторяем поиск максимума вдоль вертикальных линий \(x=20,40,60,80\) мм. Максимальное значение \(|\varphi|=143^\circ\) при \(I=+5\) А достигается в точках

Прямая по этим точкам (метод наименьших квадратов, проверено на python): \[y=ax+b=-0{,}58\,x+75{,}3\ \text{мм}.\] Погрешности: разброс шести точек вокруг прямой даёт лишь \(\delta a\approx0{,}004\) и \(\delta b\approx0{,}3\) мм; учитывая округление максимума и погрешность установки компаса \(0{,}5\) мм, оценка организаторов — \(\delta a\approx0{,}01\), \(\delta b\approx0{,}4\) мм. Погрешности убывают как \(1/\sqrt N\) с числом точек \(N\).

Направление тока определяем по знаку угла. Направление \(\vec B_{\mathrm h}\) перпендикулярно проводу, поэтому есть два варианта: ток идёт по проводу вправо-вниз (\(\theta=-30{,}1^\circ\), \(\psi=210{,}1^\circ\), \(\vec B_{\mathrm h}\) смотрит на юго-юго-запад) или влево-вверх (\(\theta=149{,}9^\circ\), \(\psi=30{,}1^\circ\), \(\vec B_{\mathrm h}\) смотрит на северо-северо-восток). В первом случае сумма \(\vec B_{\mathrm E}+\vec B_{\mathrm h}\) при \(I>0\) отклоняет стрелку к западу (\(\varphi<0\)), во втором — к востоку. В измерениях при \(I>0\) получено \(\varphi<0\), значит, верен первый вариант: положительный ток течёт от западной границы квадрата к восточной, а \(\theta=\arctan a=-30{,}1^\circ\pm0{,}4^\circ\). Проекция провода и направление тока показаны на рис. 2.

Рис. 2. Проекция провода на плоскость \(xy\): точки максимума \(|\varphi|\) (таблица) и прямая \(y=-0{,}58x+75{,}3\) мм; стрелка — направление положительного тока.

b. Глубина \(h\) и поле Земли \(B_{\mathrm E}\). Из (1) и (2) при известном \(\theta\) \[\frac{\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}=\frac{\mu_0 I h}{2\pi B_{\mathrm E}\,(d^2+h^2)}. \tag{3}\] Неизвестны \(h\) и \(B_{\mathrm E}\); расстояние \(d\) от точки \((x,y)\) до проекции провода считаем по формуле расстояния от точки до прямой: \[d=\bigl|(ax+b-y)\cos\theta\bigr|\approx0{,}865\,|ax+b-y|. \tag{4}\] Двух углов при двух разных \(d\) уже достаточно, но один угол округлён до \(1^\circ\), а положение компаса задано с ошибкой \(0{,}5\) мм, поэтому такая оценка груба; надёжнее набрать много точек и линеаризовать (3). Есть два пути: менять ток при фиксированном расстоянии или менять расстояние при фиксированном токе.

Метод I: меняем ток при фиксированных \(d\). Введём безразмерную величину \(U=\sin\varphi/\sin(\varphi-30{,}1^\circ)\). Тогда (3) превращается в прямую, проходящую через начало координат: \[I=kU,\qquad k=\frac{2\pi B_{\mathrm E}\,(d^2+h^2)}{\mu_0 h}. \tag{5}\] Измеряем \(\varphi\) при \(I=\pm1,\dots,\pm5\) А в двух точках: над проводом (\(x=0\), \(y=75\) мм, \(d_1=0\)) и на расстоянии \(d_2=10\) мм (по формуле (4), точка \(x=20\) мм, \(y=75\) мм). Результаты:

Графики \(I(U)\) — прямые через начало координат (рис. 3), наклоны по МНК (проверено на python; значения \(U\) взяты из таблицы организаторов, там они вычислены по неокруглённым \(\varphi\)): \[k_1=1{,}01\pm0{,}01\ \text{А},\qquad k_2=5{,}04\pm0{,}03\ \text{А}.\]

Рис. 3. Линеаризация \(I=kU\): точки измерений и прямые по МНК для двух расстояний до провода.

Из (5) для двух расстояний: \[k_1=\frac{2\pi B_{\mathrm E}h}{\mu_0}\quad(d_1=0),\qquad k_2=\frac{2\pi B_{\mathrm E}(d_2^2+h^2)}{\mu_0 h}.\] Вычитание даёт \(k_2-k_1=2\pi B_{\mathrm E}d_2^2/(\mu_0 h)\), откуда и из \(k_1\) \[\frac{B_{\mathrm E}}{h}=\frac{\mu_0(k_2-k_1)}{2\pi d_2^2}=8{,}06\cdot10^{-6}\ \frac{\text{Тл}}{\text{мм}},\qquad B_{\mathrm E}h=\frac{\mu_0 k_1}{2\pi}=2{,}02\cdot10^{-4}\ \text{Тл}\cdot\text{мм}.\] (Организаторы приводят \(B_{\mathrm E}h=\mu_0(d_2^2k_1-d_1^2k_2)/[2\pi(d_2^2-d_1^2)]=1{,}98\cdot10^{-4}\) Тл\(\cdot\)мм — та же формула при \(d_1=0\) с округлением.) Перемножением и делением: \[h=\sqrt{\frac{d_2^2\,k_1}{k_2-k_1}}=5{,}0\ \text{мм},\qquad B_{\mathrm E}=\sqrt{\frac{\mu_0 k_1}{2\pi}\cdot\frac{\mu_0(k_2-k_1)}{2\pi d_2^2}}=4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Тл}.\]

Метод II: фиксированный ток, меняем расстояние. Перепишем (3): \[\frac{\sin(\theta+\varphi)}{\sin\varphi}=\frac{2\pi B_{\mathrm E}}{\mu_0 I h}\,d^2+\frac{2\pi B_{\mathrm E}h}{\mu_0 I}.\] Введём \(U=d^2\) и \(V=\sin(\varphi-30{,}1^\circ)/\sin\varphi\) — получаем прямую \(V=\text{(наклон)}\,U+\text{(отрезок)}\). Измерения при \(I=5{,}0\) А вдоль линии \(y=75\) мм (\(d\) считаем по (4)):

Линейная регрессия (рис. 4, проверено на python): \(V=7{,}37\cdot10^{-3}\ \text{мм}^{-2}\,U+0{,}208\). Отсюда \(2\pi B_{\mathrm E}/(\mu_0 I h)=7{,}37\cdot10^{-3}\) мм\(^{-2}\) и \(2\pi B_{\mathrm E}h/(\mu_0 I)=0{,}208\): \[B_{\mathrm E}=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\sqrt{7{,}37\cdot10^{-3}\cdot0{,}208}=3{,}9\cdot10^{-5}\ \text{Тл},\qquad h=\sqrt{\frac{0{,}208}{7{,}37\cdot10^{-3}}}=5{,}3\ \text{мм}.\]

Рис. 4. Линеаризация \(V(U)\) при \(I=5{,}0\) А: точки (таблица) и прямая МНК.

Метод II менее точен: при малых \(d\) велика относительная ошибка положения компаса (переменная \(U=d^2\)), при больших \(d\) угол мал и велика относительная ошибка его отсчёта (переменная \(V\)). Метод I опирается на много значений тока при двух хорошо выбранных расстояниях и даёт значения, совпадающие с заданными в модели с точностью до двух значащих цифр: \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл.

Проверка. Размерность: \(B_{\mathrm h}=\mu_0 I h/[2\pi(d^2+h^2)]\) — это \(\text{Тл}\cdot\text{м/А}\cdot\text{А}/\text{м}=\text{Тл}\), как и \(B_{\mathrm E}\); поэтому в (5) \(k\) имеет размерность тока (с учётом перевода миллиметров в метры). Для \(d=0\) получаем \(B_{\mathrm h}=\mu_0 I/(2\pi h)=2\cdot10^{-7}\cdot5/(5\cdot10^{-3})=2{,}0\cdot10^{-4}\) Тл при \(I=5\) А, то есть в 5 раз больше поля Земли; компоненты полного поля \(B_x=B_{\mathrm h}\sin\theta=-1{,}0\cdot10^{-4}\) Тл, \(B_y=B_{\mathrm E}-B_{\mathrm h}\cos\theta=-1{,}33\cdot10^{-4}\) Тл дают \(\varphi=-180^\circ+36{,}9^\circ=-143^\circ\), как в измерении. Расчётная кривая \(\varphi(d)\) по найденным \(h\) и \(B_{\mathrm E}\) ложится на измеренные точки (рис. 5); при \(d\to\infty\) поле провода убывает и \(\varphi\to0\): стрелка возвращается на север.

Рис. 5. Угол отклонения при \(I=5\) А: расчёт при \(h=5{,}0\) мм, \(B_{\mathrm E}=4{,}0\cdot10^{-5}\) Тл (линия) и измерения (точки).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.