Горячий цилиндр

Каждую величину удобно выделить отдельным опытом: короткий нагрев малой энергией даёт теплоёмкость, медленное остывание однородного стержня почти до комнатной температуры — суммарный линейный коэффициент потерь, стационарный режим при очень сильном нагреве — излучательную способность, а поток теплоты через середину стержня — теплопроводность.

\(c=114\pm1\) Дж/(кг\(\cdot\)К);  \(\alpha\approx2{,}93\) Вт/(м\(^2\cdot\)К);  \(\beta=0{,}304\pm0{,}004\);  \(k\approx397\) Вт/(м\(\cdot\)К).

Что происходит. Стержень получает мощность \(P\) от нагревателя, а теряет её через боковую и торцевые поверхности: линейно по разности температур (воздух) и по закону \(T^4\) (излучение); вдоль стержня теплота переносится теплопроводностью. Четыре величины \(c\), \(k\), \(\alpha\), \(\beta\) входят в уравнения по-разному, и главная идея — так выбрать режимы, чтобы в каждом доминировала одна из них: при коротком слабом нагреве потери ничтожны, и температура определяется только \(c\); при остывании почти до \(T_0\) потери линейны и определяются комбинацией \(\alpha+4\beta\sigma T_0^3\); при очень сильном нагреве главным становится излучение, что даёт \(\beta\); а в стационарном режиме поток через сечение стержня определяется \(k\).

Рис. 1. Датчики на равных расстояниях по всей длине стержня и веса правила Симпсона для средней температуры.

Обозначения. Площадь поверхности стержня вместе с торцами \(A=2\pi rL+2\pi r^2=0{,}01948\) м\(^2\); площадь сечения \(S=\pi r^2=3{,}14\cdot10^{-4}\) м\(^2\). Пять датчиков расставлены равномерно: \(x=0;\ 7{,}5;\ 15;\ 22{,}5;\ 30\) см, их положения записываем один раз и в ходе опытов не меняем. Температуру стержня в целом находим как среднее по длине. Прямое среднее \(\overline T=(T_1+\dots+T_5)/5\) у неравномерно нагретого стержня даёт заметную ошибку, поэтому используем правило Симпсона (рис. 1): \[T_{\text{ср}}=\frac{T_1+4T_2+2T_3+4T_4+T_5}{12}.\] Для \(T^4\) применяем то же правило к значениям \(T_i^4\) (в кельвинах). Прямое среднее даёт завышение на \(5\,\%\) для температуры в опыте 1, на \(1{,}5\,\%\) для \(T\) и \(6{,}3\,\%\) для \(T^4\) в опыте 3.

1. Теплоёмкость \(c\). Нужен нагрев, при котором потери малы: подаём небольшую энергию за короткое время. Берём суммарное количество теплоты \(Q=1500\) Дж при разных мощностях и временах (всегда меньше \(50\) с), чтобы температура оставалась низкой, и дожидаемся выравнивания температуры по стержню. Пока потерями можно пренебречь, закон сохранения энергии для стержня как целого даёт \[Q=mc\,(T_{\text{ср}}-T_0)\quad\Longrightarrow\quad c=\frac{Q}{m\,(T_{\text{ср}}-T_0)}.\] Для времён нагрева меньше \(50\) с средняя температура получается \(T_{\text{ср}}=55{,}4\pm0{,}5\,^\circ\)C, то есть \(T_{\text{ср}}-T_0=28{,}5\) К, и \[c=\frac{1500}{0{,}46\cdot28{,}5}=114\pm1\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\] Проверяем несколько значений времени нагрева: если потери не успели сказаться, \(c\) не зависит от режима.

2. Линейные потери при остывании. Греем стержень на полной мощности \(300\) Вт в течение \(600\) с, затем выключаем нагреватель и наблюдаем остывание; к \(700\) с температура по стержню выравнивается, и в каждый момент берём среднюю по пяти точкам. При температурах, близких к \(T_0\), излучение тоже почти линейно (разложение первого порядка по \(T-T_0\)): \[A\beta\sigma(T^4-T_0^4)\approx A\beta\sigma\cdot4T_0^3\,(T-T_0),\] поэтому суммарная мощность потерь при \(T\) вблизи \(T_0\) равна \(A(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)(T-T_0)\). Уравнение остывания однородного стержня (теплоёмкость \(mc\)): \[mc\,\frac{dT}{dt}=-A\,(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)(T-T_0).\] Его решение — \(T-T_0=Ce^{-\gamma t}\), где \(\gamma=A(\alpha+4\beta\sigma T_0^3)/(mc)\). Значит, график \(\ln(T-T_0)\) от \(t\) — прямая с наклоном \(-\gamma\) (рис. 2); то же даёт график \(dT/dt\) от \(T-T_0\). Точки остывания организаторов (средняя температура раз в \(100\) с, от \(800\) до \(3600\) с) мы сняли с их графика. В начале остывания точки идут круче прямой: при больших \(T-T_0\) излучение ещё нелинейно. С \(t\approx2000\) с (\(T<45\,^\circ\)C) точки ложатся на прямую, а наклон организаторы находят по последним десяти точкам, \(t=2700\)–\(3600\) с. Метод наименьших квадратов по ним (python) даёт \[\gamma=(1{,}78\pm0{,}02)\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}\qquad(\ln(T-T_0)\approx6{,}51-1{,}78\cdot10^{-3}\,t).\]

Рис. 2. Остывание однородного стержня: точки сняты с графика организаторов (таблицы у них нет); бирюзовые точки и прямая \(\ln(T-T_0)=6{,}51-1{,}78\cdot10^{-3}t\) — участок, по которому найден наклон, штрихом — её продолжение.

Отсюда комбинация, через которую далее выразится \(\alpha\): \[\alpha+4\beta\sigma T_0^3=\frac{\gamma\,mc}{A}=\frac{1{,}78\cdot10^{-3}\cdot0{,}46\cdot114}{0{,}01948}\approx4{,}79\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}}.\]

3. Излучательная способность \(\beta\). Чтобы излучение доминировало, греем стержень как можно сильнее: \(P=300\) Вт и ждём не менее \(600\) с, пока установится стационарный режим (по наблюдению организаторов он наступает примерно через \(600\) с). В нём вся мощность нагревателя уходит в потери: \(P=300\) Вт. Средняя по Симпсону температура \(T_{\text{ср}}=662\,^\circ\)C (то есть \(935\) К), среднее \(T^4=7{,}95\cdot10^{11}\) К\(^4\). Линейная часть потерь по найденному \(\gamma\) (с теми же \(mc\) и \(\Delta T=T_{\text{ср}}-T_0\)): \[\gamma\,mc\,\Delta T=1{,}78\cdot10^{-3}\cdot0{,}46\cdot114\cdot(935-300)\approx59\ \text{Вт}.\] Остаётся на излучение сверх линейной части \[300-59=241\ \text{Вт}=A\beta\sigma\bigl[\overline{T^4}-T_0^4-4T_0^3(T_{\text{ср}}-T_0)\bigr]\] (вычитаем вторую часть потому, что её мы уже отнесли к линейным потерям; рис. 3).

Рис. 3. Тепловой баланс стационарного режима при \(P=300\) Вт: линейная часть потерь и остаток излучения (длины пропорциональны мощностям).

Подставляем: \(\overline{T^4}-T_0^4-4T_0^3(T_{\text{ср}}-T_0)=7{,}95\cdot10^{11}-8{,}1\cdot10^{9}-6{,}86\cdot10^{10}=7{,}18\cdot10^{11}\) К\(^4\), откуда \[\beta=\frac{241}{A\sigma\cdot7{,}18\cdot10^{11}}=\frac{241}{0{,}01948\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot7{,}18\cdot10^{11}}=0{,}304\pm0{,}004.\] Обратите внимание: если вторую часть не вычесть, получится \(\beta=0{,}277\approx0{,}28\) — систематическая ошибка около \(9\,\%\).

4. Коэффициент \(\alpha\). Из комбинации пункта 2: \[\alpha=\frac{\gamma\,mc}{A}-4\beta\sigma T_0^3=4{,}79-4\cdot0{,}304\cdot5{,}67\cdot10^{-8}\cdot(300)^3=4{,}79-1{,}86=2{,}93\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}}.\] Независимая проверка \(\beta\) по остыванию от высокой температуры, когда доминирует излучение: \(mc\,dT/dt\approx-A\beta\sigma(T^4-T_0^4)\), то есть график \(dT/dt\) от \(T^4-T_0^4\) имеет наклон \(-A\beta\sigma/(mc)=-7{,}8\cdot10^{-12}\) К\(^{-3}\cdot\)с\(^{-1}\), откуда \(\beta\approx0{,}37\). Это заметно выше \(0{,}304\): пренебрежение линейными потерями недопустимо — около \(20\,\%\) теплоты (59 Вт из 300) в этом режиме уходит по линейному закону. Поэтому основной результат — \(\beta=0{,}304\).

5. Теплопроводность \(k\). В стационарном режиме при \(P=300\) Вт поток теплоты через сечение в середине стержня (\(x=15\) см) равен всем потерям правой, ненагреваемой половины (рис. 4): теплота уходит с её поверхности и торца, а притекает только через это сечение. Площадь правой половины с торцом \(A_{1/2}=S+2\pi r\cdot0{,}15=9{,}74\cdot10^{-3}\) м\(^2\). Усреднённые по этой половине \(T=599\,^\circ\)C (\(872\) К) и \(T^4\approx5{,}8\cdot10^{11}\) К\(^4\) (в тексте организаторов степень опечатана как \(10^4\); \(10^{11}\) согласуется с результатом \(112\) Вт) дают мощность потерь \[Q_{1/2}=A_{1/2}\bigl[\alpha(T-T_0)+\beta\sigma(\overline{T^4}-T_0^4)\bigr]\approx112\ \text{Вт}.\]

Рис. 4. Стационарный режим при \(P=300\) Вт: потери левой и правой половин и поток через среднее сечение.

Тот же поток по закону Фурье: \(Q_{1/2}=-kS\,dT/dx\). Градиент температуры в середине находим по симметричной разностной производной по датчикам, отстоящим от середины не далее \(5\) см и не ближе \(1\) см: \[\frac{dT}{dx}\approx\frac{T(x+\Delta)-T(x-\Delta)}{2\Delta}=-898\ \text{К/м}.\] Отсюда \[k=\frac{Q_{1/2}}{S\,|dT/dx|}=\frac{112}{3{,}14\cdot10^{-4}\cdot898}\approx397\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}}.\] Обратите внимание: поток нужно делить на площадь сечения \(S=\pi r^2\), так как формула \(-k\,dT/dx\) даёт плотность потока.

Проверка. Все пять значений пересчитаны на python по формулам решения: \(c=114{,}4\); \(\alpha+4\beta\sigma T_0^3=4{,}79\); линейные потери \(59{,}3\) Вт; \(\beta=0{,}303\); \(\alpha=2{,}93\); \(Q_{1/2}=112{,}2\) Вт; \(k=397\). Независимая проверка \(k\) и \(c\) — время выравнивания температуры. Плотность металла \(\rho=m/(\pi r^2L)=4{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\), температуропроводность \(\chi=k/(\rho c)=397/(4880\cdot114)=7{,}1\cdot10^{-4}\) м\(^2\)/с, время затухания самой медленной неоднородности (полуволна косинуса на длине стержня с теплоизолированными торцами) \(\tau=L^2/(\pi^2\chi)\approx13\) с. За \(100\) с перепад температуры вдоль стержня (в стационарном режиме — порядка \(|dT/dx|\,L\approx270\) К) уменьшается в \(e^{100/13}\approx2\cdot10^3\) раз, до десятых долей кельвина. Это согласуется с наблюдением: после выключения нагревателя в \(600\) с температура выравнивается к \(700\) с. И это время много меньше времени остывания \(1/\gamma\approx560\) с, поэтому в пункте 2 стержень действительно остывает как однородное тело. Смысл величин: при комнатной температуре \(4\beta\sigma T_0^3=1{,}86\) Вт/(м\(^2\cdot\)К) сопоставимо с \(\alpha=2{,}93\), то есть конвекция и излучение дают потери одного порядка, а при \(660\,^\circ\)C излучение уже преобладает: \(A\beta\sigma(\overline{T^4}-T_0^4)\approx264\) Вт, около \(88\,\%\) потерь.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.