Анизотропией называется различие свойств среды (например: упругости, электропроводности, теплопроводности, скорости звука, показателя преломления света и др.) в различных направлениях внутри этой среды. Теоретическое введение. Максимальное смещение \(y\) (так называемая стрела прогиба) конца тонкой горизонтальной планки длиной \(\ell\) под влиянием собственного веса можно определить по формуле: \[y = \beta E^{k}\rho^{r}b^{s}\delta^{t}g^{h}\ell^{f}, \tag{*}\] где \(k, r, s, h, f\) — некоторые целые числа, \(\beta = 3/2\) — безразмерный коэффициент, \(t = -2\), \(E\) — модуль Юнга, \(\rho\) — плотность материала планки, \(\delta\) — толщина, \(b\) — ширина планки, \(g\) — ускорение свободного падения. Формула (*) справедлива при условии малости прогиба \(y < 0{,}5\ell\). Модуль Юнга — одна из характеристик твёрдого тела, определяющая его упругие свойства. По закону Гука относительная деформация \(\varepsilon\) стержня под действием силы \(F\), приложенной перпендикулярно плоскости его

1) \(s = 0\) (стрела прогиба не зависит от ширины полоски); 2) \(h = 1\), \(f = 4\), \(k = -1\), \(r = 1\), т.е. \(y = \dfrac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}\); 3) зависимость \(y(\ell^4)\) линейна, наблюдается анизотропия модуля Юнга: \(E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)\).

Анизотропия — ВсОШ 2016/17, 10 кл., задача 1

Анизотропия
ВсОШ 2016/17, 10 кл.
6/10
Анизотропией называется различие свойств среды (например: упругости, электропроводности, теплопроводности, скорости звука, показателя преломления света и др.) в различных направлениях внутри этой среды.

Теоретическое введение. Максимальное смещение \(y\) (так называемая стрела прогиба) конца тонкой горизонтальной планки длиной \(\ell\) под влиянием собственного веса можно определить по формуле: \[y = \beta E^{k}\rho^{r}b^{s}\delta^{t}g^{h}\ell^{f}, \tag{*}\] где \(k, r, s, h, f\) — некоторые целые числа, \(\beta = 3/2\) — безразмерный коэффициент, \(t = -2\), \(E\) — модуль Юнга, \(\rho\) — плотность материала планки, \(\delta\) — толщина, \(b\) — ширина планки, \(g\) — ускорение свободного падения. Формула (*) справедлива при условии малости прогиба \(y < 0{,}5\ell\).

Модуль Юнга — одна из характеристик твёрдого тела, определяющая его упругие свойства. По закону Гука относительная деформация \(\varepsilon\) стержня под действием силы \(F\), приложенной перпендикулярно плоскости его поперечного сечения площадью \(S\), равна \(\varepsilon = \dfrac{\Delta\ell}{\ell} = \dfrac{F}{ES}\). Для анизотропных тел модуль Юнга может зависеть от направления.

Задание (практическая часть). В работе нужно исследовать, зависит ли значение модуля Юнга от ориентации бумажной полоски относительно листа бумаги формата А4, из которого она вырезана.
1. С помощью чистого листа А4 исследуйте зависимость \(y \sim b^s\) (напомним, что \(s\) — целое число). Приведите рисунок, поясняющий, как вы проводите данную часть эксперимента.
2. Руководствуясь экспериментальными результатами и методом размерностей, определите показатели степеней в формуле (*).
3. Аккуратно вырежьте из выданного листа бумаги полоски (угол их ориентации относительно длинной стороны листа указан на самих полосках). Полоски нельзя гнуть, мять, т.к. в противном случае вы можете сильно исказить результаты эксперимента.
4. Для каждой полоски, закреплённой с помощью клипсы на краю стола, снимите зависимость стрелы прогиба \(y\) от длины \(\ell\) выступающей за край стола части. Выполните измерения для 5–6 различных значений \(\ell\).
5. Для каждой полоски постройте график \(y(\ell^f)\) и из него определите значение модуля Юнга \(E(\varphi)\).
6. Постройте график зависимости модуля Юнга от угла \(\varphi\). Для каждого значения модуля Юнга изобразите «крест ошибок».
7. Сделайте вывод, наблюдается ли анизотропия модуля Юнга.
Приборы и оборудование: лист бумаги формата А4 с изображением пяти полосок, на каждой из которых указан угол \(\varphi\) её ориентации относительно длинной стороны листа; чистый лист бумаги формата А4; две деревянные линейки длиной 25–30 см; миллиметровая бумага формата А4 (2 листа); канцелярская клипса (48 мм), ножницы. Примечание: масса листа бумаги формата А4 составляет \(m = 5{,}0\) г, а его толщина \(\delta = 0{,}10\) мм. При малых деформациях полоски бумаги \(y \sim F\), где \(F\) — сила, приложенная к полоске.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Вырежьте на чистом листе полоски разной ширины и сравните их прогибы. Для показателя степени при \(\ell\) используйте размерности: сила тяжести полоски пропорциональна \(\rho g\ell\delta b\).
Ответ
1) \(s = 0\) (стрела прогиба не зависит от ширины полоски); 2) \(h = 1\), \(f = 4\), \(k = -1\), \(r = 1\), т.е. \(y = \dfrac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}\); 3) зависимость \(y(\ell^4)\) линейна, наблюдается анизотропия модуля Юнга: \(E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)\).
Решение
1. На чистом листе бумаги делаем прорези, которые делят его на полоски разной ширины (рис. 3). В пределах погрешности (связанной с неоднородностью бумаги) стрела прогиба не зависит от ширины полосок, следовательно, в формуле (*) показатель степени \(s = 0\).

2. Так как \(y \sim F\), а \(F \sim g\), то \(h = 1\). Тогда по соображениям размерности получаем \[y = \frac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}.\] В координатах \((y, \ell^4)\) график зависимости должен быть прямой линией.

3. Снимаем зависимость \(y(\ell)\) и строим линеаризованные графики \(y(\ell^4)\) для каждой из полосок. Строим график зависимости модуля Юнга от угла \(\varphi\). Из графика следует, что \(E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)\), где \(\sigma(E)\) — погрешность измерения. Делаем вывод, что для модуля Юнга \(E\) существует анизотропия.

Анизотропию бумаги можно пронаблюдать непосредственно (рис. 4).

Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Анизотропия

Анизотропия

Похожие задачи