Лента на призме с брусками

Лента невесома, значит сумма сил, действующих на неё, равна нулю. Какие бруски при этом могут двигаться относительно ленты, а какие должны покоиться?

Поскольку лента невесома, сумма сил, действующих на неё, равна нулю. Значит, один или оба бруска не должны перемещаться относительно ленты. Если бы относительно ленты двигались оба бруска, на ленту действовала бы ненулевая разность сил трения скольжения \(\mu mg\cos\alpha - \mu\cdot 2mg\cos\alpha \neq 0\) (в направлении ленты). Брусок большей массы покоится относительно ленты: если бы он двигался, его сила трения на ленту была бы \(2\mu mg\cos\alpha\), а максимальная сила трения покоя меньшего бруска не превосходит \(\mu mg\cos\alpha\) и не может её скомпенсировать.

Предположим, что оба бруска покоятся относительно ленты. Тогда система брусков и лента движутся как целое с ускорением, создаваемым разностью проекций сил тяжести \(2mg\sin\alpha - mg\sin\alpha = mg\sin\alpha\) на массу \(3m\): \[a = \frac{g\sin\alpha}{3}.\] Для меньшего бруска уравнение движения даёт силу трения покоя \(F_{тр} = \dfrac{4}{3}mg\sin\alpha\). Условие покоя \(F_{тр} \le \mu mg\cos\alpha\) выполняется при \(\mu \ge \dfrac{4}{3}\operatorname{tg}\alpha\).

Если же \(\mu \le \dfrac{4}{3}\operatorname{tg}\alpha\), меньший брусок скользит по ленте, и на ленту действует сила трения \(\mu mg\cos\alpha\). Такая же по величине сила действует на ленту со стороны большего бруска, так что на ленту действует нулевая суммарная сила. Второй закон Ньютона для большего бруска \(2m a = 2mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\) даёт \[a = g\left(\sin\alpha - \frac{\mu}{2}\cos\alpha\right).\]