Кольцо с перемычкой

Ограничением служит предельный ток в проводах кольца. Выразите сопротивление цепи через сопротивление дуги от A до точки контакта перемычки и найдите, при каком положении перемычки ток в проводах достигает \(I_0\).

Главным ограничением является ток в проводах кольца: если перемычка совпадает с диаметром AB, сопротивление цепи обращается в ноль, и мощность на участке AB стремится к бесконечности, но ток в перемычке и проводах тогда неограничен. Поэтому ищем положение перемычки, при котором ток в проводах не превышает \(I_0\), а сопротивление цепи минимально.

Пусть сопротивление дуги \(AC\) (и \(BD\)) равно \(x\), а дуг \(CB\) и \(AD\) равно \(R - x\). Поскольку перемычка не имеет сопротивления, цепь эквивалентна двум параллельным ветвям, и сопротивление цепи равно \[R_{об} = \frac{2x(R - x)}{R}.\] Оно меняется от нуля (при \(x = 0\) или \(x = R\)) до \(R/2\) (при \(x = R/2\)). Через участки \(AC\) (BD) и \(AD\) (CB) текут токи \[I_1 = \frac{U}{2x}, \qquad I_2 = \frac{U}{2(R - x)},\] а ток через перемычку меньше, поскольку в узлах C и D ток разветвляется.

По закону Джоуля–Ленца мощность \(P = U^2/R_{об}\) тем больше, чем меньше сопротивление цепи. Но растут и токи в проводах, и они не могут превышать \(I_0\). Поэтому максимальная мощность достигается, когда один из токов в проводах равен \(I_0\): \[x = \frac{U}{2I_0} = 0{,}25~\text{Ом}.\] Это четверть сопротивления полуокружности \(R = 1\) Ом, что соответствует положению перемычки под углом \(45^\circ\) к прямой AB. Тогда \[R_{об} = \frac{2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75}{1} = 0{,}375~\text{Ом}, \qquad P_{max} = \frac{U^2}{R_{об}} = \frac{100}{0{,}375} \approx 267~\text{Вт}.\]