Семь шайб на шестиугольнике

При нецентральном упругом ударе двух одинаковых шайб одна из составляющих скорости налетающей шайбы не меняется. Какая именно, и какой угол отклонения получается при нужной траектории?

Шайбы одинаковой массы; при ударе сила взаимодействия направлена по линии, соединяющей центры шайб. Поэтому перпендикулярная этой линии составляющая скорости налетающей шайбы не меняется, а параллельная меняется так же, как при лобовом упругом ударе, т. е. шайбы обмениваются этими составляющими. Если скорость налетающей шайбы \(v\) направлена под углом \(\varphi\) к линии центров, то шайба-биток после удара движется со скоростью \(v\sin\varphi\) под углом \(90^\circ - \varphi\) к своему первоначальному направлению.

Чтобы шайба-биток после удара попала в следующую шайбу, её направление должно отклониться на \(60^\circ\), значит \(\varphi = 30^\circ\) и скорость уменьшается вдвое: \(v_1 = v_0/2\). Время до следующего столкновения при расстоянии \(a\): \[t_{12} = \frac{a}{v_1} = \frac{2a}{v_0}.\] Аналогично, после каждого удара скорость уменьшается вдвое, а путь до следующей шайбы равен \(a\): \[v_k = \frac{v_0}{2^k}, \qquad t_{k,k+1} = \frac{a}{v_k} = \frac{2^k a}{v_0}.\] Таким образом, после шестого столкновения \[v_6 = \frac{v_0}{64},\] а время между первым и шестым столкновениями \[t = \frac{a}{v_0}\left(2 + 4 + 8 + 16 + 32\right) = \frac{62\,a}{v_0}.\]