Луч вдоль провисающей верёвки

Равновесная верёвка минимизирует свою потенциальную энергию, а световой луч минимизирует время распространения. Сравните два условия минимума, записанные по малым участкам верёвки.

Потенциальная энергия верёвки в поле силы тяжести \[\Pi = \sum_i \lambda\,\Delta l_i\, g h_i,\] где \(\lambda\) — линейная плотность верёвки, \(\Delta l_i\) — длины малых участков, \(h_i\) — их высоты над точкой B. В равновесии верёвка располагается так, что эта сумма минимальна: \[\sum_i \lambda\,\Delta l_i\, g h_i = \min.\]

Для луча, идущего из A в B вдоль верёвки, по принципу Ферма время распространения минимально: \[t = \sum_i \frac{\Delta l_i}{c(h_i)} = \sum_i \frac{\Delta l_i\, n(h_i)}{c} = \min,\] где \(c(h_i) = c/n(h_i)\) — скорость света на высоте \(h_i\). Обе суммы минимальны при любом разбиении верёвки на малые участки \(\Delta l_i\), поэтому оставшиеся множители в них пропорциональны друг другу с точностью до постоянной: \[n(h) = G + F h,\] где \(G\) и \(F\) — постоянные. Значит, показатель преломления линейно зависит от высоты.

Из условия в точке B: \(G = n_0\).

Чтобы луч шёл вдоль верёвки, в точке A он должен распространяться под углом \(\alpha\) к горизонту. Разобьём воздух на тонкие горизонтальные слои, в каждом из которых показатель преломления постоянен, и запишем закон преломления для каждого слоя: \[n\sin\alpha = n_1\sin\alpha_1 = n_2\sin\alpha_2 = \dots = n_0\sin\beta.\] Отсюда показатель преломления в точке A \[n = \frac{n_0\sin\beta}{\sin\alpha}.\] Тогда \[F = \frac{n(H) - G}{H} = \frac{n_0(\sin\beta - \sin\alpha)}{H\sin\alpha},\] и искомая зависимость \[n(h) = n_0 + \frac{n_0\,(\sin\beta - \sin\alpha)}{H\sin\alpha}\,h.\]