Упругое столкновение шайб

Одинаковость скоростей даёт связь импульсов \(p_2 = x\,p_1\). Запишите законы сохранения энергии и импульса, а импульсы сложите по теореме косинусов.

Пусть \(\vec p\) и \(\vec p_1\) — начальный и конечный импульсы шайбы 1, \(\vec p_2\) — конечный импульс шайбы 2. Так как конечные скорости шайб одинаковы, то \[\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_2}{m_1} = x \quad\longrightarrow\quad p_2 = x\,p_1.\] Из закона сохранения энергии имеем: \[\frac{p^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} \quad\longrightarrow\quad x\,p^2 = x\,p_1^2 + p_2^2 = x\,p_1^2 + x^2 p_1^2 \quad\longrightarrow\quad p^2 = p_1^2(1 + x).\] Запишем закон сохранения импульса \(\vec p = \vec p_1 + \vec p_2\). Нарисовав треугольник из входящих сюда векторов и используя теорему косинусов, получаем: \[p^2 = p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2\cos(\pi - \vartheta) \quad\longrightarrow\quad p_1^2(1 + x) = p_1^2 + x^2 p_1^2 + 2p_1^2\,x\cos\vartheta,\] \[1 + x = 1 + x^2 + 2x\cos\vartheta \quad\longrightarrow\quad 1 = x + 2\cos\vartheta \quad\longrightarrow\quad x = 1 - 2\cos\vartheta = 1{,}7.\]