Тела плавают в ртути и воде

Условие плавания в каждом случае — равенство силы тяжести и суммы архимедовых сил от погружённых частей куба. Исключите массу куба из двух соотношений.

Запишем условие плавания куба в ртути, приравняв силу тяжести выталкивающей силе: \[mg = \rho_{\text{р}}\, g\,\frac{a^3}{4} \quad\longrightarrow\quad m = \rho_{\text{р}}\,\frac{a^3}{4},\] где \(m\) — масса куба, \(a^3\) — его объём, \(g\) — ускорение свободного падения. Запишем теперь условие плавания для случая, когда поверх ртути налита вода: \[mg = \rho_{\text{в}}\, g\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\, g\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right) \quad\longrightarrow\quad m = \rho_{\text{в}}\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right).\] Здесь \(\left(\frac{3a}{4} - h\right)\) — толщина слоя ртути, в котором находится нижняя часть куба. Исключая из полученных соотношений массу куба, находим \(h\): \[\rho_{\text{р}}\,\frac{a^3}{4} = \rho_{\text{в}}\,a^2 h + \rho_{\text{р}}\,a^2\left(\frac{3a}{4} - h\right) \quad\longrightarrow\quad \rho_{\text{р}}\,a = 4\rho_{\text{в}} h + \rho_{\text{р}}(3a - 4h),\] \[4(\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}})\,h = 2\rho_{\text{р}}\,a \quad\longrightarrow\quad h = \frac{\rho_{\text{р}}\,a}{2(\rho_{\text{р}} - \rho_{\text{в}})}.\] Подставим числовые значения в системе СГС: \[h = \frac{13{,}6\cdot 10}{2\cdot(13{,}6 - 1)} = 5{,}4~\text{см}.\]