Потенциал концентрических сфер

Соединённые проводом сферы имеют общий потенциал. Потенциал каждой сферы складывается из вкладов всех сфер, а заряд сохраняется.

Пусть \(q_1\) и \(q_2\) — конечные заряды средней и внешней сфер, \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — их потенциалы. Учитывая, что потенциал внутри заряженной сферы постоянен и равен потенциалу на её поверхности, имеем: \[\varphi_1 = \frac{kq}{2R} + \frac{kq_1}{2R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(2q + 2q_1 + q_2)}{4R}, \qquad \varphi_2 = \frac{kq}{4R} + \frac{kq_1}{4R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(q + q_1 + q_2)}{4R}.\] Так как средняя и внешняя сферы соединены проводом, они образуют единый проводник, потенциал которого во всех точках одинаков. Приравнивая \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\), получаем: \[2q + 2q_1 + q_2 = q + q_1 + q_2 \quad\longrightarrow\quad q_1 = -q.\] Из закона сохранения заряда \(q_1 + q_2 = 2q\), откуда \(q_2 = 3q\). Потенциал внутренней сферы равен: \[\varphi = \frac{kq}{R} + \frac{kq_1}{2R} + \frac{kq_2}{4R} = \frac{k(4q + 2q_1 + q_2)}{4R} = \frac{k(4q - 2q + 3q)}{4R} = \frac{5}{4}\cdot\frac{kq}{R}.\] Подставим числовые значения: \[\varphi = \frac{5}{4}\cdot\frac{9\cdot 10^9\cdot 0{,}2\cdot 10^{-9}}{0{,}05} = 45~\text{В}.\]