Спутник с двигателем

Сравните требуемую центростремительную силу при первой космической скорости с силой тяжести. Что должен компенсировать двигатель при меньшей скорости?

Если бы спутник имел первую космическую скорость для данной планеты, то функцию центростремительной силы выполняла бы сила тяжести, и второй закон Ньютона имел бы для спутника вид \[\frac{m v_1^2}{R} = mg,\] где \(m\) — масса спутника, \(v_1\) — первая космическая скорость для планеты, \(R\) — её радиус, \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности. Поэтому, если скорость спутника меньше первой космической, то необходимо уменьшить центростремительную силу. А это может сделать двигатель, который, следовательно, должен развивать силу, направленную от центра планеты. Найдём её величину. Пусть двигатель развивает силу \(F\), направленную от центра планеты. Тогда второй закон Ньютона для спутника в проекциях на ось, направленную к центру планеты, имеет вид \[\frac{m v^2}{R} = mg - F.\] А поскольку скорость спутника \(v\) равна половине первой космической скорости, то \[\frac{m v_1^2}{4R} = mg - F.\] Учитывая предыдущую формулу, найдём \[F = \frac{3}{4}\,mg.\]