Треугольник на шарнире

Выберите ось вращения в шарнире и запишите уравнение моментов относительно неё. Минимальная сила имеет наибольшее плечо.

Поскольку треугольник находится в равновесии, то сумма сил, действующих на треугольник, и сумма моментов этих сил относительно любой точки равны нулю. Воспользуемся уравнением моментов относительно шарнира. Ненулевые моменты имеют сила тяжести и внешняя сила \(\vec F\), удерживающая треугольник в рассматриваемом положении (эти силы показаны на рисунке). Чтобы сила \(F\) была минимальна, она должна иметь максимальное плечо относительно шарнира, т.е. точка её приложения должна быть максимально удалена от шарнира, а вектор \(\vec F\) должен быть перпендикулярен отрезку, связывающему эту точку и шарнир (см. рисунок). Эту силу можно было бы приложить и к другой вершине, перпендикулярно другой стороне; ответ для минимальной силы не изменился бы.

Сила тяжести приложена к центру тяжести тела, который делит медиану \(AC\) в отношении \(2{:}1\). Поэтому её плечо равно двум третьим отрезка \(CD\), который можно найти как \[CD = BC\sin(\angle ACB).\] А поскольку основание треугольника вдвое меньше его боковой стороны, то \[\cos(\angle ACB) = \frac{1}{4}.\] Находя далее \(\sin(\angle ACB)\) с помощью основного тригонометрического тождества, найдём момент силы тяжести относительно шарнира \[M_{mg} = mg\,\frac{2}{3}\,CD = \frac{\sqrt{15}}{12}\,mga,\] где \(a\) — длина основания треугольника из фанеры. Поэтому условие моментов относительно шарнира даёт \[\frac{\sqrt{15}}{12}\,mga = F\cdot 2a.\] Отсюда находим \[F = \frac{\sqrt{15}}{24}\,mg.\]