Бусинка на стержне

Стержень невесом, поэтому силы на него в каждый момент уравновешены: от стенки, от пола и от бусинки (перпендикулярно стержню, постоянная по величине). Запишите равновесие стержня в зависимости от смещения бусинки и найдите, когда трению на полу перестанет хватать.

Первый способ. Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках \(A\), \(B\) и в месте положения бусинки.

Сила реакции со стороны вертикальной стены \(\vec N_A\) направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем \(\vec N_\text{Б}\) направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке \(B\) — полной реакции опоры \(\vec Q_B = \vec N_B + \vec F_\text{тр}\) — должна проходить через точку пересечения линий действия \(\vec N_A\) и \(\vec N_\text{Б}\) по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.

Поскольку линия действия \(\vec N_A\) фиксирована, а \(\vec N_\text{Б}\) сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил перемещается горизонтально. Угол наклона стержня к вертикали составляет \(45^\circ\), значит смещению бусинки вдоль стержня на величину \(x\) соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину \(x\sqrt2\).

Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдет в тот момент, когда \(\vec Q_B\) более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, т. е. угол \(\varphi\) превысит величину \(\operatorname{arctg}\mu\). Отсюда найдём перемещение бусинки \(x_{max}\): \[\frac{x_{max}\sqrt2}{L\sqrt2} = \mu \;\Rightarrow\; x_{max} = \mu L.\] Стержень придет в движение до момента удара бусинки о пол, если \(x_{max} < L\), отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация: \(\mu < 1\). Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии: \[\frac{mv^2}{2} = \frac{mgx_{max}}{\sqrt2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\sqrt2\,\mu gL}.\]

Второй способ. Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

\[F_\text{тр} + N_A - \frac{N_\text{Б}}{\sqrt2} = 0, \qquad N_B - \frac{N_\text{Б}}{\sqrt2} = 0\] и правило моментов относительно точки \(B\): \[N_\text{Б}(L - x) = N_A\frac{2L}{\sqrt2}.\] Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что \(N_\text{Б} = mg/\sqrt2\). Решив систему уравнений, найдем: \[N_A = \frac{mg}{2}\cdot\left(1 - \frac{x}{L}\right), \qquad N_B = \frac{mg}{2}, \qquad F_\text{тр} = \frac{mgx}{2L}.\] Проскальзывание начнется при \(F_\text{тр} = \mu N_B\), то есть если \[\frac{mgx}{2L} = \frac{\mu mg}{2} \;\Rightarrow\; x = \mu L.\] Отсюда при условии, что \(x < L\), получим \(\mu < 1\). До начала проскальзывания бусинка движется равноускоренно с ускорением \(a = g/\sqrt2\). Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому \[v^2 = 2ax \;\Rightarrow\; v^2 = 2\cdot\frac{g}{\sqrt2}\cdot\mu L \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\sqrt2\,\mu gL}.\]

Силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой также можно определить двумя способами.

Первый способ. Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень (см. рис.).

Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, \(N_\text{Б} = \mathrm{const} = mg/\sqrt2\). Тогда имеем \[N_A = \frac{mg(1 - \operatorname{tg}\varphi)}{2}.\] В момент отрыва \(\operatorname{tg}\varphi = \mu\), поэтому \[N_A = \frac{mg(1 - \mu)}{2}.\] Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при \(\mu < 1\), тогда \(N_A > 0\). Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнется раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.

Второй способ. Так как в момент начала проскальзывания \(x = \mu L\), \[N_A = \frac{mg}{2}\cdot\left(1 - \frac{x}{L}\right) = \frac{mg(1 - \mu)}{2}.\] Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при \(\mu < 1\), тогда \(N_A > 0\). Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнется раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.