Флаг на корабле

Флаг направлен вдоль скорости ветра относительно корабля. Проекции скорости ветра относительно земли на курс и на перпендикуляр к нему одинаковы до и после увеличения скорости. Используйте закон сложения скоростей.

Флаг на корабле развевается в направлении скорости ветра в системе отсчёта, связанной с кораблём. По закону сложения скоростей \[\vec v_{\text{в.о.з.}} = \vec v_{\text{в.о.к.}} + \vec v_{\text{к.о.з.}} ,\] где \(\vec v_{\text{в.о.з.}}\) — скорость ветра относительно земли (величину, которой нужно найти), \(\vec v_{\text{к.о.з.}} = \vec v\) — скорость корабля относительно земли, \(\vec v_{\text{в.о.к.}}\) — скорость ветра относительно корабля (в направлении которой развевается флаг). Треугольники, отвечающие закону сложения скоростей, показаны на рисунке.

В этих треугольниках известны одна сторона (скорость корабля относительно земли) и один угол (\(\alpha\) или \(\beta\)), но сами треугольники не определены. Тем не менее скорость корабля из двух треугольников найти можно. Основная идея в том, что в этих треугольниках одинаковы одна сторона (скорость ветра относительно земли) и угол между вектором скорости ветра относительно земли и скоростью корабля (по условию направление курса корабля не менялось). Поэтому проекции скорости ветра относительно земли на направление скорости корабля и перпендикулярное ему одинаковы до и после увеличения скорости.

Пусть эти проекции равны \(v_\perp\) и \(v_\parallel\). Тогда из треугольников сложения скоростей имеем \[\mathrm{tg}(\pi - \alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{v_\perp}{v - v_\parallel} , \qquad \mathrm{tg}(\pi - \beta) = -\mathrm{tg}\,\beta = \frac{v_\perp}{2v - v_\parallel} .\] Решая эту систему уравнений относительно величин \(v_\perp\) и \(v_\parallel\), получаем \[v_\perp = \frac{v(\mathrm{tg}\,\alpha - 2\,\mathrm{tg}\,\beta)}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} , \qquad v_\parallel = \frac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} .\]

В результате из теоремы Пифагора находим скорость ветра \[u = \sqrt{v_\perp^2 + v_\parallel^2} = v\,\frac{\sqrt{(\mathrm{tg}\,\alpha - 2\,\mathrm{tg}\,\beta)^2 + \mathrm{tg}^2\alpha\,\mathrm{tg}^2\beta}}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} .\]