Объёмы

Используйте линейку как рычаг, опирающийся на край стола: условия равновесия без воды и с погружением то одного, то другого тела дают отношение объёмов и масс через плечи.

\(\dfrac{\rho_A}{\rho_B}=\dfrac{1-\dfrac{l_{A3}l_{B1}}{l_{A1}l_{B3}}}{1-\dfrac{l_{A1}l_{B2}}{l_{A2}l_{B1}}}\).

Используем линейку как рычаг. Точкой опоры служит край стола. Найдём центр масс линейки. В дальнейшем центр масс линейки находится точно на краю стола. Найдём длины плеч \(l_{A1}\) и \(l_{B1}\) тел от точки опоры. Тогда по правилу рычага выполняется \[m_Al_{A1}=m_Bl_{B1}.\] Теперь погрузим тело \(A\) в воду и снова найдём расстояния плеч \(l_{A2}\) и \(l_{B2}\) от точки опоры. На тело \(A\) действует ещё и выталкивающая сила \(F_y=\rho_{\text{воды}}gV_A\), и из правила рычага получаем \[(m_A-\rho_{\text{воды}}V_A)\,l_{A2}=m_Bl_{B2}.\] Теперь достанем тело \(A\) из воды и погрузим в воду тело \(B\) и снова найдём расстояния плеч \(l_{A3}\) и \(l_{B3}\) от точки опоры. На тело \(B\) действует выталкивающая сила \(F_y=\rho_{\text{воды}}gV_B\), и из правила рычага получаем \[m_Al_{A3}=(m_B-\rho_{\text{воды}}V_B)\,l_{B3}.\] Отношение плотностей — это отношение масс и объёмов: \[\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{m_AV_B}{m_BV_A}.\] Выражая отношение плотностей из системы, состоящей из всех предыдущих уравнений, получаем \[\frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{1-\dfrac{l_{A3}l_{B1}}{l_{A1}l_{B3}}}{1-\dfrac{l_{A1}l_{B2}}{l_{A2}l_{B1}}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.