Задачи › Уравнение вращения, раскрутка и торможение

Вращающаяся орбитальная станция

  1. Вращающаяся орбитальная станция

    «Шаг в будущее» 2023/24, 11 кл.
    6/10

    Орбитальная станция массой \(75\) т представляет собой полый цилиндр с внешним диаметром \(5\) м, внутренним диаметром \(4{,}5\) м при длине \(10\) м. Для комфортного проживания космонавтов на станции создаётся «искусственная» гравитация, возникающая в результате закручивания станции относительно её продольной оси. Станция приводится во вращение четырьмя ракетными двигателями тягой \(100\) Н каждый, расположенными на внешней поверхности станции и направленными по касательной к ней. Конструкция двигателей позволяет им работать продолжительное время. С какой угловой скоростью нужно закрутить станцию, чтобы создать внутри гравитацию, равную половине земной? Сколько для этого потребуется времени? Вернётся ли космонавт на поверхность станции в инерциальной системе отсчёта, если подпрыгнет по нормали к ней в установившемся режиме вращения? Если вернётся, то в какую точку относительно исходной? Ростом космонавта можно пренебречь. Ответ пояснить.

    Дополнительная информация: момент инерции полого однородного цилиндра относительно продольной оси \(J = \dfrac{1}{2}m(R^2 + r^2)\), где \(R\) — внешний радиус, \(r\) — внутренний радиус.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри станции центростремительное ускорение равно \(\omega^2 r\) на внутреннем радиусе. Время разгона найдите из углового ускорения, создаваемого парой двигателей.

    Ответ

    \(\omega \approx 1{,}48\) рад/с; \(T \approx 626\) с (около \(10{,}5\) мин). Космонавт вернётся на поверхность, но в точку, которая будет впереди исходной по ходу вращения.

    Решение

    Гравитация \(g/2\) на внутреннем радиусе \(r = 2{,}25\) м даёт \(\omega^2 r = g/2\), откуда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g}{2r}} = \sqrt{\dfrac{9{,}81}{4{,}5}} \approx 1{,}48\) рад/с. Момент инерции \(J = \dfrac{1}{2}\cdot 75\,000\,(2{,}5^2 + 2{,}25^2) \approx 4{,}24\cdot 10^5\) кг\(\cdot\)м\(^2\). Момент сил \(M = PRn\) с внешним радиусом \(R = 2{,}5\) м, угловое ускорение \(\varepsilon = M/J\), время разгона \(T = \omega/\varepsilon = \dfrac{\omega J}{PRn} \approx 626\) с.

    Космонавт, подпрыгнув, сохраняет тангенциальную скорость, которая больше скорости точки поверхности на внутреннем радиусе; в инерциальной системе он движется по прямой и приземляется впереди исходной точки по ходу вращения.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх