Шарик над проводящей плоскостью

Метод изображений: сила притяжения шарика к плоскости равна силе притяжения к заряду \(-q\) на расстоянии \(2L\). При малом смещении эта сила меняется линейно, и её производная даёт эффективную жёсткость.

Условие равновесия с учётом метода изображений: \(k_0 x_0 = mg + \dfrac{kq^2}{4L^2}\). Уравнение движения \(m\ddot x = -k_0(x + x_0) + mg + \dfrac{kq^2}{4(L-x)^2}\). Линеаризуя по \(x\), получаем эффективную жёсткость \(k_{\text{эф}} = k_0 - \dfrac{kq^2}{2L^3}\), откуда \(T = 2\pi\sqrt{m/k_{\text{эф}}}\), что совпадает с приведённой формулой.