Грузы у блоков

Направим ось \(OX\) горизонтально, а ось \(OY\) — вертикально вверх. Пусть \(A\) — искомое ускорение груза 1, \(a\) — величина вертикальной составляющей ускорения груза 3. Как вытекает из соображений симметрии, все проекции ускорений грузов выражаются через \(A\) и \(a\) следующим образом: \[a_{1x} = A,\quad a_{2x} = -A,\quad a_{3x} = A,\quad a_{3y} = -a,\quad a_{4x} = -A,\quad a_{4y} = -a.\] Используя условие нерастяжимости, то есть постоянства длины нити, получим соотношение, связывающее \(A\) и \(a\). При смещении грузов 1 и 2 по горизонтали на \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) изменение длины нити равно \(\Delta x_2 - \Delta x_1\); при смещении грузов 3 и 4 по вертикали на \(\Delta y_3\) и \(\Delta y_4\) изменение длины нити равно \(-\Delta y_3 - \Delta y_4\). Ввиду нерастяжимости нити, полное изменение её длины равно нулю: \(\Delta x_2 - \Delta x_1 - \Delta y_3 - \Delta y_4 = 0\). Отсюда \(a_{2x} - a_{1x} = a_{3y} + a_{4y}\), и \(a = A\).

Для нахождения ускорения \(A = a\) обозначим через \(T\) силу натяжения нити. Запишем уравнение движения груза 3 по вертикали: \(T - mg = -ma\), а также уравнение движения системы грузов 1 и 3 по горизонтали: \(T = (M + m)A\). Отсюда \(A = \dfrac{mg}{M + 2m}\).