Линейка на цилиндре

Когда жук доползёт до конца линейки (см. рисунок), условие её равновесия, в соответствии с правилом рычага, можно записать в виде: \(Mgx_0 = 0{,}2Mg((l/2) - x_0)\). Отсюда \(x_0 = l/12 = \pi R/6\).

Если \(\alpha\) — угол между линейкой и горизонтом в момент, когда расстояние от точки соприкосновения линейки и цилиндра до центра линейки равно \(x\), то при повороте линейки на угол \(\Delta\alpha\) изменение \(x\) равно \(\Delta x = R\Delta\alpha\). Следовательно, когда жук доползёт до конца линейки, она повернётся на угол \(\alpha_0 = x_0/R = \pi/6\).

Действующая на линейку со стороны цилиндра сила реакции опоры направлена вертикально, то есть под углом \(\alpha\) к нормали к поверхности в точке соприкосновения линейки и цилиндра. Следовательно, отношение силы трения покоя \(F_{\text{тр}}\) к нормальной составляющей \(N\) силы реакции опоры равно \(F_{\text{тр}}/N = \operatorname{tg}\alpha\). Поскольку максимальная величина силы трения покоя равна \(F_{\text{тр}} = \mu N\), перекатывание линейки по цилиндру будет происходить без проскальзывания при значениях коэффициента трения между цилиндром и линейкой, удовлетворяющих неравенству: \(\mu > \operatorname{tg}\alpha_{\max} = \operatorname{tg}\alpha_0 = \operatorname{tg}(\pi/6)\), то есть \(\mu > 1/\sqrt{3} \approx 0{,}58\).