Два жука

Если бы второй жук всё время двигался со скоростью \(2v\), встреча произошла бы через \(S/(3v)\). Подумайте, сколько времени в среднем он движется, и как устроена повторяющаяся стадия движения.

Если бы второй жук двигался без остановки со скоростью \(2v\), то скорость сближения жуков составляла бы \(3v\), и они встретились бы через время \(t_\text{встр} = \dfrac{S}{3v}\).

В нашей задаче картина движения иная. Если расстояние между жуками в начале какой-то стадии движения было равно \(x\), то время \(t\) движения второго жука до остановки составит \[t = \frac{x}{2\cdot 3v} = \frac{x}{6v},\] а расстояние между жуками в этот момент составит \(x/2\). Отдыхать второй жук будет в течение одной трети найденного времени, т.е. \(t_1 = \dfrac{t}{3} = \dfrac{x}{18v}\). За это время первый жук пройдёт расстояние \(x/18\), что меньше \(x/2\), поэтому встреча не происходит на этой стадии, а картина движения повторяется: до встречи пройдёт бесконечное количество таких стадий. Средняя скорость сближения жуков на каждой стадии одинакова, поэтому время встречи определяется средней скоростью сближения, вычисленной для любой полной стадии.

Пусть расстояние между жуками в начале какой-то стадии равно \(x\), время этой стадии (когда картина движения начинает повторяться) — \(\tau\), а за это время жуки в сумме пройдут расстояние \(y\). Тогда средняя скорость сближения \(v_\text{ср} = y/\tau\). Полное время стадии \[\tau = t + t_1 = \frac{2x}{9v}.\] Второй жук за это время пройдёт расстояние \(x_2 = 2v t = x/3\), а первый (который всё время двигался) — расстояние \(x_1 = v\tau = 2x/9\). Поэтому в сумме жуки пройдут \[y = x_1 + x_2 = \frac{x}{3} + \frac{2x}{9} = \frac{5x}{9}.\] Средняя скорость сближения на этой стадии \[v_\text{ср} = \frac{5x/9}{2x/(9v)} = \frac{5}{2}\,v.\] Отсюда время до встречи и пути, пройденные жуками: \[t_\text{встр} = \frac{2S}{5v}, \qquad S_1 = v\,t_\text{встр} = \frac{2S}{5}, \qquad S_2 = S - S_1 = \frac{3S}{5}.\]