Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Передача предмета на стадионе

  1. Передача предмета на стадионе

    Всесибирская 2021/22, заключительный этап, 8 кл. · №25305
    6/10PDF: условиес решением

    На уроке физкультуры вместе занимаются \(N_1=8\) первоклассников и \(N_2=12\) второклассников. Учитель расставил всех учащихся равномерно по всей длине круглого стадиона: 1-й класс на одну дорожку, а 2-й класс — на соседнюю дорожку (см. поясняющий рисунок не в масштабе). Второкласснику, стоящему рядом с первоклассником на стартовой линии, учитель дал предмет, который школьники должны были передавать друг другу (изображён звёздочкой на рисунке). По команде учителя 1-й класс побежал по своей дорожке в одном направлении (по часовой стрелке на рисунке), а 2-й класс — в другом направлении. После этого каждый раз, когда бегущие навстречу школьники оказываются рядом, школьник, который несёт предмет, передаёт его школьнику из другого класса. Через какое время после старта передаваемый предмет пересечёт стартовую линию, если каждый первоклассник пробегает всю дорожку за \(T_1=6\) мин, а второклассник — за \(T_2=3\) мин? Считать, что эти школьники отличаются большой выносливостью и всё время бегут с постоянной скоростью. Различие длин дорожек не учитывать.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Найдите, сколько времени предмет проводит у каждого школьника, и на сколько он смещается вдоль дорожки за один цикл «туда и обратно». Затем определите, когда предмет снова окажется у стартовой линии.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(435\) с (через \(7\) мин \(15\) с после старта).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Обозначим длину дорожек \(L\). Скорости первоклассников и второклассников равны \(L/T_1\) и \(L/T_2\), а скорость сближения школьников, бегущих по разным дорожкам, равна \(L/T_1+L/T_2\).

    В момент получения предмета первоклассник и второклассник стоят рядом, поэтому от первоклассника следующий второклассник находится на расстоянии \(L/N_2\) вдоль дорожки, а если предмет получил второклассник, то следующий первоклассник — на расстоянии \(L/N_1\). Значит, предмет у конкретного первоклассника находится в течение \(\dfrac{L/N_2}{L/T_1+L/T_2}=\dfrac{T_1T_2}{(T_1+T_2)N_2}=\dfrac{1}{6}\) мин \(=10\) с, а у второклассника — в течение \(\dfrac{L/N_1}{L/T_1+L/T_2}=\dfrac{T_1T_2}{(T_1+T_2)N_1}=\dfrac{1}{4}\) мин \(=15\) с.

    За время передачи от второклассника первокласснику и обратно (всего \(\dfrac{5}{12}\) мин \(=25\) с) предмет смещается вдоль дорожки на \(\dfrac{L/N_1}{L/T_1+L/T_2}\cdot\dfrac{L}{T_2}-\dfrac{L/N_2}{L/T_1+L/T_2}\cdot\dfrac{L}{T_1}=\dfrac{L}{T_1+T_2}\left(\dfrac{T_1}{N_1}-\dfrac{T_2}{N_2}\right)=\dfrac{L}{18}\), то есть на \(1/18\) всей дорожки. Здесь учтено, что второклассник пробегает большее расстояние за время между передачами, и предмет в среднем движется в ту же сторону, что и второклассники.

    Ровно через 18 таких циклов предмет окажется на стартовой линии вместе с первоклассником, который в этот момент встретит очередного второклассника, через \(18\cdot\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{2}\) мин \(=450\) с. Однако первый раз после старта предмет пересечёт стартовую линию раньше — с вторым классником, который передаст предмет первокласснику. Это произойдёт на 15 с раньше, т.е. через \(435\) с после старта: первоклассник принесёт предмет на линию старта за 10 с, а тот же отрезок второклассник пробегает вдвое быстрее, за 5 с.

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх