Кубики на резинке в жидкости

Запишите равновесие каждого кубика в исходном состоянии и в конечном, когда натяжение резинки равно нулю. Сравните, как далеко опускается кубик, к которому приложена сила, с его размером.

\(F=T_0\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{\rho ga^2}{k}\right)\) при \(k>\dfrac{4T_0\rho ga^2}{2\rho ga^2-T_0}\); при меньших \(k\) \(F=\dfrac{\rho ga^3}{2}\). Силу прикладывают к меньшему кубику (ребро \(a\)).

Обозначим \(M_1\) и \(M_2\) массы кубиков с рёбрами \(a\) и \(2a\). Натяжение резинки одинаково по всей её длине, а выталкивающие силы, действующие на кубики, разные, поэтому массы и плотности кубиков должны различаться. Условия равновесия кубиков в исходном положении: \(M_1g+T_0=\rho g\dfrac{a^3}{2}\), \(\quad M_2g+T_0=\rho g\cdot 4a^3\).

Пусть искомая сила \(F\) приложена к меньшему кубику, и под её действием он опустился на \(x<a/2\). Так как начальное растяжение резинки равно \(T_0/k\), а в конечном состоянии оно равно нулю, полная длина резинки уменьшилась на \(T_0/k\). Значит, второй кубик сдвинулся вверх на расстояние \(x-T_0/k\), и условия равновесия в новом состоянии: \(M_1g+F=\rho ga^2\left(\dfrac{a}{2}+x\right)\), \(\quad M_2g=\rho g\cdot 4a^2\left(a-x+\dfrac{T_0}{k}\right)\).

Из второго из них и исходного уравнения для \(M_2\) следует \(x=T_0\dfrac{k+4\rho ga^2}{4k\rho ga^2}\). Используя первое уравнение и исходное для \(M_1\), получаем \(F=T_0\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{\rho ga^2}{k}\right)\).

Это решение применимо при \(x<a/2\), то есть при \(k>\dfrac{4T_0\rho ga^2}{2\rho ga^2-T_0}\). Заметим также, что \(T_0<\rho ga^3/2\), так как массы тел положительны.

При меньших \(k\) кубик после полного погружения под действием силы \(F=\dfrac{\rho ga^3}{2}\) продолжает погружаться, пока натяжение резинки не упадёт до нуля, поэтому в этом случае минимальная сила равна \(\dfrac{\rho ga^3}{2}\). Если бы силу прикладывали к большему кубику, требуемая сила была бы больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.