Нелинейная пружина

IEPhO 2017/18, 8 кл.

5/10

В задаче требуется оценка погрешностей!

Давление \(P\) внутри замкнутого объема газа зависит от объема газа \(V\). Зависимость можно описать функцией:

\[\frac{P}{P_{0}}=\left(\frac{V}{V_{0}}\right)^{n} \qquad(1)\]где \(P_{0}\) и \(V_{0}\) – давление и объем газа в некоторый момент времени.

A1. Рассчитайте как можно точнее площадь внутреннего сечения шприца.

A2. Рассчитайте полный объем шприца (с учетом части вне делений, ближе к месту вставки поршня).

A3. Включите весы. Поставьте на них шприц. Нажимайте на шприц таким образом, чтобы поршень двигался относительно шприца как можно медленнее. По показаниям весов оцените силу трения, действующую на поршень шприца при таком движении. Оцените погрешность.

A4. Полностью выньте поршень из шприца. Заткните носик шприца вторым поршнем. Вставьте первый поршень в шприц. Установите его аналогично пункту A3. Нажимая на шприц, измерьте зависимость показаний весов от внутреннего объема газа (см. рисунок 1).

Рис. 1. Измерение давления внутри шприца

A5. При помощи данных, полученных в пункте A4, рассчитайте величины \({P}/{P_{0}}\) и \({V}/{V_{0}}\), где \(P_{0}\) – атмосферное давление воздуха, равное \(100~кПа\), \(V_{0}\) – полный объем шприца, а величины \(P\), \(V\) – текущие значения давления и объема, соответственно. Хорошо подумайте, куда направлена сила трения, действующая на поршень, во время измерений в пункте A4.

A6. Используя результаты пункта A5, определите степень \(n\) в уравнении A1.

A7. Постройте график зависимости, полученной в пункте A5, в таких координатах, чтобы график зависимости получился линейным. Найдите её угловой коэффициент.

Оборудование

Шприц (\(1~мл\))
Весы
Поршень от шприца (\(1~мл\))
Линейка

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A1: \[S=0.169~см^2\]; A2: \[V_{0}=1.32~мл\]; A3: \[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н\]; A5: \[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S}\]; A6: \[n=-1\]; A7: \[A=0.98 \pm 0.01\]

Решение

A1. Отмеченная делениями часть шприца соответствует объему \(V=1~мл\). Длина заполненной части шприца при этом \(l=5.9~см\). Таким образом, площадь внутреннего сечения шприца составит:\[S=\frac{V}{l}=0.169~см^2 \qquad(2)\]

Ответ:

\[S=0.169~см^2\]

A2. Длина внутренней части вне объемной шкалы шприца составляет \(l_{1}=1.9~см\). С помощью пропорции найдем общий объем внутренней части шприца:\[V_{0}=V\left(1+\frac{l_{1}}{l}\right)=1.32~мл \qquad(3)\]

Ответ:

\[V_{0}=1.32~мл\]

A3. Оценим силу трения, действующую на поршень шприца, при его движении внутри шприца способом, указанным в условии. Получим, что значения весов меняются в пределе \(100 - 120~г\), таким образом сила трения составит:\[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н \qquad(4)\]

Ответ:

\[F_{тр}=1.1 \pm 0.1~Н\]

A4. Снимем показания весов от внутреннего объема шприца.

Ответ:

\(V,~мл\)	\(m,~г\)	\({V}/{V_0}\)	\({P}/{P_0}\)	\({V_0}/{V}\)
1.00	149	0.76	1.21	1.32
0.90	175	0.68	1.36	1.47
0.80	214	0.61	1.59	1.65
0.70	259	0.53	1.85	1.89
0.60	314	0.45	2.17	2.20
0.50	388	0.38	2.60	2.64
0.40	500	0.30	3.25	3.30
0.30	660	0.23	4.18	4.40
0.20	1050	0.15	6.44	6.60

A5. Для расчета дополнительного по отношению к атмосферному давления внутри шприца необходимо рассчитать отношение силы, действующей на поршень со стороны воздуха внутри шприца, на его площадь. Различные методы измерения показаний весов соответствуют разным направлениям силы трения, действующей на поршень. В том случае, если показания весов снимаются при непосредственном движении части вниз, сила трения, действующая на поршень, будет направленна вниз. При движении резервуарной части в противоположную сторону, сила трения, действующая на поршень, поменяет свое направление. Если же положение поршня фиксируется на время измерений, то сила трения скольжения сменяется силой трения покоя. В этом случае сила трения может принимать значения от нулевого до максимального, измеренного в пункте A3, а также может менять направление. В свою очередь, сила действующая со стороны весов на поршень может быть рассчитана из показаний весов умножением их на ускорение свободного падения. Начальное давление внутри поршня равно атмосферному давлению \(P_{0}=10^{5}~Па\). Таким образом, отношение давления внутри шприца к начальному давлению воздуха в нем можно рассчитать как:\[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S} \qquad(5)\]

Ответ:

\[\frac{P}{P_{0}}=\frac{P_{0} S+m g \pm F_{тр}}{P_{0} S}\]

Знак перед силой трения выбирается в соответствии с выбранным способом измерений. Авторский способ измерения точек соответствует движению резервуарной части вниз. Расчет отношения объема воздуха в шприце к начальному объему проводится тривиально на основе результатов пункта A2.

A6. Легко заметить, что при уменьшении объема в шприце в два раза давление в шприце возрастает также примерно вдвое. Таким образом находим степень:

Ответ:

\[n=-1\]

A7. Построим график зависимости \(\dfrac{P}{P_{0}}\left(\dfrac{V_{0}}{V}\right)\) и найдем угловой коэффициент.\[A=0.98 \pm 0.01 \qquad(6)\]

Ответ:

\[A=0.98 \pm 0.01\]

Ответ:

График зависимости \({P}/{P_{0}}\) от \({V_{0}}/{V}\)

Источник: pho.rs/p/4166.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Нелинейная пружина

Нелинейная пружина

Похожие задачи