Два тела в жидкости

Сила Архимеда на тело, которое не переворачивается, меняется пропорционально его смещению и объёму, если плотность линейна по глубине. Что одинаково в двух опытах благодаря нити?

Для тела, которое не переворачивается, при смещении \(\Delta h\) изменение силы Архимеда пропорционально объёму и смещению. Поскольку плотность линейна по глубине, для всего тела сила натяжения при таком смещении \[T=\alpha\,\Delta h\,V g ,\] где \(V\) — объём тела, а \(\alpha\) — коэффициент линейного роста плотности. Пусть объём верхнего тела \(V\), нижнего \(2V\), перемещения в опыте \(x_1\) (верхнее) и \(y_1\) (нижнее), а в гипотетическом опыте с сразу перевёрнутым нижним телом — \(x_2\) и \(y_2\). Длина нити не меняется: \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Тогда \[\alpha x_1 V g=T_1,\qquad \alpha x_2 V g=T_2,\qquad \alpha y_2\cdot 2V g=T_2 ,\] откуда \[2T_2+T_2=2(x_1+y_1)\,\alpha V g\cdot\frac{T_1}{\alpha x_1 V g} \quad\Rightarrow\quad T_2=\frac{2}{3}\,\frac{x_1+y_1}{x_1}\,T_1=\frac{2}{3}\cdot\frac{10+8}{10}\cdot 10\ \text{Н}=12\ \text{Н}.\]