Куб, склеенный из двух пластиков

Куб плавает на границе воды и масла. Объём его части, погружённой в воду, найдите по изменению уровня воды в стакане, а затем приравняйте силу тяжести к сумме архимедовых сил.

Пусть \(b = 10\) см — сторона сечения стакана, \(a = 9\) см — сторона куба, \(\Delta h = 5\) см — подъём уровня воды. Куб плавает на границе воды и масла, его нижняя часть высотой \(h_\text{в}\) находится в воде. Объём погружённой части равен \(a^2 h_\text{в} = b^2\Delta h\), откуда \(h_\text{в} = \dfrac{b^2\Delta h}{a^2} \approx 6{,}17\) см.

На куб действуют сила тяжести и две силы Архимеда: со стороны масла \(F_1 = \rho_\text{м} g a^2 (a - h_\text{в})\) и со стороны воды \(F_2 = \rho_\text{в} g a^2 h_\text{в}\). Пусть \(x\) — высота параллелепипеда из более лёгкого пластика с плотностью \(\rho_1\), тогда сила тяжести куба \(F_\text{т} = \rho_1 a^2 x g + \rho_2 a^2 (a - x) g\). Из условия плавания \(F_\text{т} = F_1 + F_2\) находим \[x = \frac{a(\rho_\text{м} - \rho_2) + \Delta h\,\dfrac{b^2}{a^2}(\rho_\text{в} - \rho_\text{м})}{\rho_1 - \rho_2}.\] Подставляя значения, получаем \(x \approx 4{,}41\) см.