Автомобиль и мотоцикл на дороге к финишу

Сначала найдите, сколько времени автомобиль ехал с каждой скоростью, и путь \(S\) через \(T\) и \(v\). Мотоцикл догоняет машину только тогда, когда машина едет со скоростью \(v\), а мотоцикл — уже со скоростью \(2v\). Осталось записать условие встречи в этот момент.

\(t = \dfrac{7T}{9} = 140\) с.

Обозначим \(S\) — путь от старта до финиша, \(v = 60\) км/ч, \(T = 3\) мин — время, за которое автомобиль проехал путь. Автомобиль ехал со скоростью \(2v\) в течение времени \(T_{a1}\) и со скоростью \(v\) — в течение \(T_{a2}\). Поскольку на каждом из участков он прошёл равный путь, \(2vT_{a1} = vT_{a2} = S/2\), и \(T = T_{a1} + T_{a2}\). Отсюда \(T_{a1} = T/3\), \(T_{a2} = 2T/3\) и \(S = 4vT/3\).

Мотоцикл, двигаясь со скоростью \(v\), не может догнать автомобиль, поскольку средняя скорость последнего всегда больше \(v\). Он не может догнать его и тогда, когда автомобиль едет со скоростью \(2v\), так как средняя скорость мотоцикла меньше \(2v\). Значит, мотоцикл догоняет автомобиль, двигаясь со скоростью \(2v\), когда тот едет со скоростью \(v\).

Мотоцикл увеличил скорость через время \(\tau\) после старта. Полный путь мотоцикла \(S = v\tau + 2v\tau\), откуда \(\tau = \dfrac{S}{3v} = \dfrac{4T}{9}\), а к этому моменту он прошёл \(S/3\).

Условие встречи (после \(T/3\) автомобиль едет со скоростью \(v\), после \(4T/9\) мотоцикл — со скоростью \(2v\)): $$\frac{S}{2} + v\left(t - \frac{T}{3}\right) = \frac{S}{3} + 2v\left(t - \frac{4T}{9}\right).$$ Подставляя \(S = 4vT/3\), получаем \(t = \dfrac{7T}{9} = 140\) с, что меньше \(T\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.