Вода и ртуть

Выделите малый элемент жидкости на расстоянии \(r\) от оси вращения: перепад давлений на нём создаёт центростремительное ускорение. Проинтегрируйте этот перепад по горизонтальному участку трубки, учтя обе жидкости.

Найдём изменение давления в горизонтальной части трубки. Уравнение движения малого элемента жидкости длиной \(\Delta r\), находящегося на расстоянии \(r\) от оси вращения: \[a_{\text{цс}}\rho S\Delta r = \omega^2 r\rho S\Delta r = S\,\Delta p,\] где \(\omega\) — угловая скорость вращения трубки, \(\Delta p\) — перепад давлений на концах малого элемента. Разность давлений на концах горизонтального участка (заштрихованная площадь под графиком на рис. 14): \[p_2 - p_1 = \omega^2\rho(r_2 - r_1)\cdot\frac{r_1 + r_2}{2} = \omega^2\rho\,\frac{r_2^2 - r_1^2}{2}. \qquad (6)\]

Перепад давлений между правым и левым коленом равен сумме перепадов давлений в горизонтальной части трубки, заполненной водой и ртутью: \[p_2 - p_1 = \omega^2\rho_в\frac{(l/2)^2 - 0}{2} + \omega^2\rho_р\frac{l^2 - (l/2)^2}{2} = \frac{(3\rho_р + \rho_в)\,\omega^2 l^2}{8}. \qquad (7)\] Этот перепад давлений поддерживает разность давлений вертикальных столбов воды и ртути: \[\frac{(3\rho_р + \rho_в)\,\omega^2 l^2}{8} = \rho_р g h - \rho_в g h, \qquad (8)\] откуда \(\omega = \sqrt{\dfrac{8gh}{l^2}\cdot\dfrac{\rho_р - \rho_в}{3\rho_р + \rho_в}}\). Период вращения \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi l}{\sqrt{2gh}}\cdot\sqrt{\frac{3\rho_р + \rho_в}{\rho_р - \rho_в}} \approx 1{,}0~\text{с}.\]