Ворона на доске в воде

Доска длинная, поэтому наклон мал, и погружённый объём можно разбить на две части с известными точками приложения силы Архимеда. Запишите уравнение моментов относительно подходящей точки.

Так как длина доски много больше её толщины, угол наклона доски очень мал. На рисунке изображены силы для случая, когда ворона пересела на один из концов доски.

Светло-серая часть доски имеет вдвое меньший объём, чем у всей доски, значит, на эту часть действует сила Архимеда, равная \(\dfrac{2}{3}(M + m)g\) (так как в первом случае, когда ворона сидела посередине доски, доска была на три четверти погружена в воду), а точка приложения этой силы расположена на расстоянии трети доски от её правого конца (см. рисунок). Точка приложения силы Архимеда, действующей на оставшуюся погружённую часть доски, отстоит от левого конца также на треть. Запишем уравнение моментов относительно точки приложения силы \(F_A'\): \[Mg\cdot\frac{1}{6}\,l + mg\cdot\frac{4}{6}\,l - \frac{2}{3}(M + m)g\cdot\frac{1}{3}\,l = 0 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{M}{8} = 0{,}5\text{ кг},\] где \(l\) "— длина доски, \(m\) "— масса вороны.

Запишем уравнение моментов относительно точки приложения силы \(\dfrac{2}{3}(M + m)g\) (см. рисунок): \[Mg\cdot\frac{1}{6}\,l - mg\cdot\frac{1}{3}\,l - F_A'\cdot\frac{1}{3}\,l = 0 \quad\Rightarrow\quad F_A' = \frac{3}{8}\,Mg.\] Значит, суммарная сила Архимеда, действующая на доску, равна \[F_A = F_A' + \frac{2}{3}(M + m)g = \frac{3}{8}\,Mg + \frac{2}{3}(M + m)g = \frac{27}{24}\,Mg \cong 44\text{ Н}.\]