Мячик и пылинка

Наименьшая начальная скорость соответствует тому, что в верхней точке траектория мячика имеет радиус кривизны, равный радиусу колеса. Какой угол к горизонту должен иметь бросок, чтобы дальность полёта была нужной?

По закону сохранения энергии \(\dfrac{m v_0^2}{2} = \dfrac{m v^2}{2} + mgD\). Скорость мячика в верхней точке минимальна при условии, что радиус кривизны его траектории в этой точке равен радиусу колеса \(D/2\): \(g = \dfrac{2v^2}{D}\), откуда \(v^2 = \dfrac{gD}{2}\). Тогда \[v_0 = \sqrt{\frac{5}{2}\,gD}.\] Горизонтальная дальность полёта при броске под углом \(\alpha\): \(2L = \dfrac{2 v_0^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha\). Косинус угла броска \(\cos\alpha = \dfrac{v}{v_0}\) или, из \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{gD/2}}{\sqrt{5gD/2}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Подставляя, получаем \(L = D = 16\) м.