Объезд по кольцевой трассе
5/10Водитель находится в точке \(A\) шоссейного кольца вокруг города (КАД). Ему надо попасть в противоположную точку диаметра КАД. Но так как диаметр закрыт на ремонт, навигатор предложил ехать по кольцу (в любую сторону). Также в точке \(C\) можно свернуть на хорду, длина которой составляет \(2/3\) диаметра, однако время в пути при этом окажется тем же. Во сколько раз средняя скорость движения по кольцу выше средней скорости движения по хорде? Движение по кольцу можно считать равномерным.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаУгол, опирающийся на диаметр, прямой. Выразите время пути по кольцу и время пути с заездом на хорду через угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = 2/3\).
Ответ\(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{3\pi}{4}\left(1 - \dfrac{2\arccos(2/3)}{180^\circ}\right) \approx 1{,}09\).
РешениеТак как \(AB\) — диаметр, \(\angle BCA = 90^\circ\). Пусть \(\cos\varphi = 2/3\), где \(\varphi = \angle OBC\). Тогда дуга \(AC\) равна \(2\varphi R\), а дуга \(CB\) равна \((\pi - 2\varphi)R\). Время пути по половине кольца и время пути с заездом на хорду \(CB = \tfrac{4}{3}R\) равны: \[\frac{\pi R}{v_1} = \frac{2\varphi R}{v_1} + \frac{4R}{3v_2}.\] Отсюда \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4}\,(\pi - 2\varphi) = \frac{3\pi}{4}\left(1 - \frac{2\arccos(2/3)}{180^\circ}\right) \approx 1{,}09.\]
Похожие задачи
- Баскервиль и собака МОШ 2010/11, 8 кл.
- Робот Кузя МОШ 2012/13, 7 кл.
- Встречи пешехода и велосипедиста МОШ 2012/13, 8 кл.
- Алиса теряет минуту МОШ 2012/13, 8 кл.
- Алиса теряет две минуты МОШ 2012/13, 9 кл.
- Ныряльщик за жемчугом Санкт-Петербургская 2012/13, 7 кл.