Брусок с ускорением

Полная сила реакции опоры (нормальная плюс трение) составляет с вертикалью угол \(\alpha\), для которого \(\operatorname{tg}\alpha = \mu\). Минимальная сила \(F\) перпендикулярна этой силе в системе, где есть эффективная сила \(m\vec g - m\vec a\).

Запишем второй закон Ньютона: \(\vec F + m\vec g + \vec N + \vec F_{\text{тр}} = m\vec a\), или \(m\vec g' + \vec Q + \vec F = 0\), где \(m\vec g' = m\vec g - m\vec a\), \(\vec Q = \vec N + \vec F_{\text{тр}}\). Сила \(\vec Q\) наклонена к вертикали под углом \(\alpha\), где \(\operatorname{tg}\alpha = \mu N/N = \mu\). Сила \(m\vec g'\) наклонена к вертикали под углом \(\beta\), где \(\operatorname{tg}\beta = \mu m g/(m g) = \mu = \operatorname{tg}\alpha\). Модуль силы \(\vec F\) будет наименьшим, если она перпендикулярна линии действия силы \(\vec Q\). Тогда \[F_{\min} = m\sqrt{g^2 + a^2}\,\sin(\alpha + \beta) = mg\sqrt{1 + \mu^2}\,\sin 2\alpha = \frac{2\mu m g}{\sqrt{1 + \mu^2}}.\] Численно: \(F_{\min} = \dfrac{2\cdot 3\cdot 10}{4\sqrt{1 + 9/16}}\) Н \(= 12\) Н.